아이디얼 노름

대수적 수론에서 아이디얼 노름(영어: ideal norm)은 임의의 분수 아이디얼에 대하여 정의되는, 체 노름의 일반화이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 데데킨트 정역 $R$
• $R$의 분수체 $K=\mathrm{Frac}R$의 유한 분해 가능 확대 $L/K$

그렇다면, 크룰-아키즈키 정리에 의하여 $R$의 $L$ 속의 정수적 폐포 $R\subseteq S\subseteq K$ 역시 데데킨트 정역을 이룬다.

그렇다면, 상대 아이디얼 노름(영어: relative ideal norm)은 다음과 같은 꼴의 모노이드 준동형이다.

${\mathrm{N}}_{S/R}:\mathrm{FracIdeal}(S)\to \mathrm{FracIdeal}(R)$

여기서 $\mathrm{FracIdeal}(-)$은 (영 아이디얼을 포함하는) 모든 분수 아이디얼들로 구성된 곱셈 모노이드이다. 이는 상대 아이디얼 노름이 만족시키는 성질들로부터 공리적으로 정의할 수 있으며, 체 노름을 사용하여 구체적으로도 정의할 수 있다.

공리적 정의

상대 아이디얼 노름 ${\mathrm{N}}_{S/R}:\mathrm{FracIdeal}(S)\to \mathrm{FracIdeal}(R)$은 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 모노이드 준동형이다.^{:Proposition 1.5.14}

• ${\mathrm{N}}_{S/R}((0{)}_S)=(0{)}_R$. 여기서 $(0)$은 영 아이디얼이다.
• 임의의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 $𝔮\subseteq S$ 및 $𝔭\subseteq R$에 대하여, 만약 $𝔮\mid 𝔭$라면,

  ${\mathrm{N}}_{S/R}(𝔮)={𝔭}^{[S/𝔮:R/𝔭]}$

여기서 $[S/𝔮:R/𝔭]$는 (덧셈군으로서) 부분군의 지표를 뜻한다. 여기서 $𝔮\mid 𝔭$라는 것은 분기화에 대하여 $𝔮$가 $𝔭$ 위에 있다는 것을 뜻한다. 즉, $𝔭$를 $S$에서 소인수 분해하면 $𝔮$는 그 소인수 가운데 하나이다.

체 노름을 통한 정의

아이디얼 노름은 체 노름을 통해서도 정의할 수 있다.^{:Proposition I.8.2:25, §4} 분수 아이디얼 $𝔄\in \mathrm{FracIdeal}S$의 아이디얼 노름 ${\mathrm{N}}_{S/R}(𝔄)\in \mathrm{FracIdeal}R$은 다음과 같은 분수 아이디얼이다.

${\mathrm{N}}_{S/R}(𝔄)=\{r_1{\mathrm{N}}_{L/K}(a_1)+r_2{\mathrm{N}}_{L/K}(a_1)+\cdots +r_n{\mathrm{N}}_{L/K}(a_n):n\in \mathbb{N},a_1,\dots ,a_n\in 𝔄,r_1,\dots ,r_n\in R\}\in \mathrm{FracIdeal}(R)$

즉, ${\mathrm{N}}_{L/K}$ 아래 $𝔄$의 상으로 생성되는 분수 아이디얼이다. 여기서 ${\mathrm{N}}_{L/K}$는 체의 확대 $L/K$에 대한 체 노름이다.

절대 아이디얼 노름

대수적 수체 $L/\mathbb{Q}$이 주어졌을 때, $K=\mathbb{Q}$, $S={𝒪}_L$, $R=\mathbb{Z}$로 놓으면 위 조건이 성립한다. 이 경우, ($\mathbb{Z}$는 주 아이디얼 정역이므로) $\mathrm{FracIdeal}(\mathbb{Z})$은 음이 아닌 유리수의 곱셈 모노이드 ${\mathbb{Q}}_{\ge 0}$로 여길 수 있다. 따라서 아이디얼 노름은 모노이드 준동형

${\mathrm{N}}_{{𝒪}_L/\mathbb{Z}}:\mathrm{FracIdeal}({𝒪}_L)\to {\mathbb{Q}}_{\ge 0}$

을 정의하며, 절대 아이디얼 노름이라고 한다.

절대 아이디얼 노름은 다음과 같이 직접적으로 정의할 수 있다. 대수적 수체 $L/\mathbb{Q}$의 대수적 정수환 ${𝒪}_L$의 아이디얼 $𝔞$의 절대 아이디얼 노름은 다음과 같다.^{:34, §I.6}

${\mathrm{N}}_L(𝔞)=\{\begin{array}{c}|{𝒪}_L/𝔞|\\ 0& 𝔞=(0)\end{array}$

즉, 만약 $𝔞$가 영 아이디얼이 아니라면 몫환 ${𝒪}_L/𝔞$의 집합의 크기이다. 이는 곱셈 연산을 보존하므로, 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다.

${\mathrm{N}}_{{𝒪}_L/\mathbb{Z}}:\mathrm{Ideal}({𝒪}_L)\to \mathbb{N}$

${\mathrm{N}}_{{𝒪}_L/\mathbb{Z}}(𝔞𝔟)={\mathrm{N}}_L(𝔞){\mathrm{N}}_K(𝔟)$

${\mathrm{N}}_{{𝒪}_L/\mathbb{Z}}({𝒪}_L)=1$

여기서 $\mathrm{Ideal}({𝒪}_L)$은 ${𝒪}_L$의 아이디얼들의 곱셈 모노이드이며, $\mathbb{N}$은 자연수(음이 아닌 정수)들의 곱셈 모노이드이다.

보다 일반적으로, ${𝒪}_L$-아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 ${𝒪}_L$-분수 아이디얼로 다음과 같이 일반화할 수 있다.

${\mathrm{N}}_L(𝔞/b)={\mathrm{N}}_L(\mathrm{a})/{\mathrm{N}}_L((b))(𝔞/b\in \mathrm{FracIdeal}({𝒪}_L),b\in {𝒪}_L)$

(여기서 $(b)$는 $b$로 생성되는 주 아이디얼이다.) 이는 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다.

${\mathrm{N}}_L:\mathrm{FracIdeal}({𝒪}_L)\to {\mathbb{Q}}_{\ge 0}$

여기서

• $\mathrm{FracIdeal}({𝒪}_L)$은 (영 분수 아이디얼을 포함하는) ${𝒪}_L$의 분수 아이디얼들의 곱셈 모노이드이다.
• ${\mathbb{Q}}_{\ge 0}$는 음이 아닌 유리수들의 곱셈 모노이드이다.

아라켈로프 인자의 아이디얼 노름

대수적 수체 $L$의 무한 또는 유한 자리 $𝔮\mid 𝔭$ ($𝔭\in \{2,3,5,7,\dots ,\mathrm{\infty }\}$)에 대하여 다음을 정의하자.

• $\kappa (𝔮)$는 값매김환 ${𝒪}_{L_{𝔮}}$의 잉여류체이다. (만약 $𝔮$가 무한 위치라면 ${𝒪}_{L_{𝔮}}=L_{𝔮}$이다.) 마찬가지로 $\kappa (𝔭)$는 값매김환 ${𝒪}_{K_{𝓅}}$의 잉여류체이다.
• $f_{𝔭}=[\kappa (𝔮):\kappa (𝔭)]$는 분기화 $S/R$에 대한 $𝔮$의 관성 차수이다.

그렇다면 다음을 정의할 수 있다.

$\mathrm{N}(𝔮)=\{\begin{array}{cc}{𝔮}^{\nu (𝔮)}& 𝔮\nmid \mathrm{\infty }\\ {\mathrm{e}}^{\nu (𝔮)}& 𝔮\mid \mathrm{\infty }\end{array}$

그렇다면 임의의 아라켈로프 인자

$𝔄=\prod _{𝔮}{𝔮}^{\nu (𝔮)}\nu (𝔮)\in \{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& 𝔮\nmid \mathrm{\infty }\\ ℝ& 𝔮\mid \mathrm{\infty }\end{array}$

의 아이디얼 노름은 다음과 같다.^{:186, Definition III.1.5}

$\mathrm{N}(𝔄)=\prod _{𝔮}\mathrm{N}(𝔮{)}^{\nu (𝔮)}\in {ℝ}^{+}$

이는 아라켈로프 인자들의 아벨 군에서 양의 실수의 곱셈군 ${ℝ}^{+}$으로 가는 군 준동형을 정의한다.

이델 노름

보다 일반적으로, 두 대역체 사이의 확대 $L/K$가 주어졌을 때, 그 이델 군 사이의 다음과 같은 상대 이델 노름(영어: relative idèle norm)이 존재한다.

${\mathrm{N}}_{L/K}:{𝔸}_L^{\times }\to {𝔸}_K^{\times }$

${\mathrm{N}}_{L/K}:(a_{𝔮}{)}_{𝔮\in \mathrm{Places}L}\mapsto \prod _{𝔮\mid 𝔭}{\mathrm{N}}_{L_{𝔮}/K_{𝔭}}(a_{𝔮})$

여기서

• $\prod _{𝔮\mid 𝔭}$는 $K$의 모든 자리 $𝔭$ 및 $𝔭$가 분기화하는 모든 $L$의 자리 $𝔮$들에 대한 곱이다.
• ${\mathrm{N}}_{L_{𝔮}/K_{𝔭}}$는 완비체의 확대 $L_{𝔮}/K_{𝔭}$에 대한 체 노름이다.

이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. $a\in L^{\times }$에 의하여 정의되는 주 이델 $(a)\in {𝔸}_L^{\times }$의 상은 $K$의 주 이델이므로, 이는 이델 유군 사이의 연속 군 준동형

$C_L\to C_K$

을 정의한다.

마찬가지로, 다음과 같은, 양의 실수 값의 절대 이델 노름(영어: absolute idèle norm)이 존재한다.

${\mathrm{N}}_K:{𝔸}_K^{\times }\to {ℝ}^{+}$

${\mathrm{N}}_K:(a_{𝔮}{)}_{𝔮\in \mathrm{Places}K}\mapsto \prod _{𝔭}|a{|}_{𝔭}$

이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. $a\in K^{\times }$에 의하여 생성되는 주 이델 $(a)\in {𝔸}_K^{\times }$의 절대 이델 노름은 항상 1이다.^{:185, Proposition III.1.3} 따라서 이는 이델 유군을 정의역으로 하는 연속 군 준동형

$C_K\to {ℝ}^{+}$

을 정의한다.

성질

체 노름과의 관계

임의의 대수적 수체의 대수적 정수환 ${𝒪}_L$에서, 주 아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 체 노름 ${\mathrm{N}}_{K/\mathbb{Q}}$의 절댓값이다. 보다 일반적으로, $L=\mathrm{Frac}{𝒪}_L$의 임의의 원소의 주 분수 아이디얼 $(a{𝒪}_L)$의 절대 아이디얼 노름은 체 노름의 절댓값이다.

${\mathrm{N}}_{{𝒪}_L/\mathbb{Z}}(a{𝒪}_L)=|{\mathrm{N}}_{K/\mathbb{Q}}(a)|(a\in K)$

그러나 아이디얼 노름은 체 노름과 달리 부호를 기억하지 않는다.

복소수 자리의 수

임의의 대수적 수체 $L/\mathbb{Q}$에 대하여, $L$의 복소수 자리의 수(즉, 환 준동형 집합 ${\mathrm{hom}}_{\mathrm{CRing}}(L,ℂ)$의 크기의 절반. 이는 복소켤레에 의하여 이는 항상 정수이다)를 $s_{ℂ}(L)$라고 하자. 그렇다면, 임의의 (영 아이디얼이 아닌) 아이디얼 $𝔞\subseteq {𝒪}_L$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.^{:35, Lemma I.6.2}

${\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{s_{ℂ}(L)}\le \frac{\sqrt{\left|{\Delta }_L\right|}{\mathrm{N}}_{{𝒪}_L/\mathbb{Z}}(𝔞)}{\underset{a\in 𝔞\setminus \{0\}}{\min }|{\mathrm{N}}_{L/\mathbb{Q}}(a)|}$

여기서 ${\Delta }_L$은 수체의 판별식을 뜻한다. 따라서, 이를 통하여 대수적 수체의 복소수 자리의 수의 상계를 얻을 수 있다.

역사

일반적인 데데킨트 정역에 대한 아이디얼 노름은 장피에르 세르가 정의하였다.^{:Proposition 1.5.14}

같이 보기

• 체 노름
• 데데킨트 제타 함수