르장드르 다항식

르장드르 다항식(Legendre polynomial) $P_n(x)$는 르장드르 미분 방정식(Legendre differential equation)이라고 불리는 다음 미분 방정식의 해가 되는 함수들이다.

$(1-x^2)\frac{d^2}{d{x}^2}P(x)-2x\frac{d}{dx}P(x)+n(n+1)P(x)=0$

스튀름-리우빌 형식으로 쓰면,

$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d}{dx}P(x)]+n(n+1)P(x)=0$

이다. 이 함수와 미분 방정식의 이름은 프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르의 이름을 따 명명되었다. 이 상미분 방정식은 물리와 공학의 여러 분야에서 자주 등장한다. 특히, 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 등장한다.

르장드르 다항식

구체적인 몇몇 르장드르 다항식의 형태는 다음과 같다.

$n$	$P_n(x)$
0	$1$
1	$x$
2	$\frac{1}{2}(3x^2-1)$
3	$\frac{1}{2}(5x^3-3x)$
4	$\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$
5	$\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$
6	$\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$
7	$\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)$
8	$\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)$
9	$\frac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)$
10	$\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)$

$n=1,2,3,4,5$인 경우의 구간 [-1,1]사이에서의 르장드르 다항식의 그래프는 다음과 같다.

섬네일을 만드는 중 오류 발생:

성질

간단한 성질

르장드르 다항식에는 다음과 같은 몇몇 간단한 성질이 있다.

• $P_n(-x)=(-1{)}^n{P}_n(x)$
• $P_n(1)=1$
• $P_n(-1)=(-1{)}^n$
• $P{\text{'}}_n(1)=\frac{n(n+1)}{2}$
• $n$이 홀수이면 $P_n(0)=0$
• $n$이 짝수이면 $P{\text{'}}_n(0)=0$

수직 관계

르장드르 다항식 끼리 구간 [-1,1]에서 $L^2$ 내적을 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$(P_n,P_m)=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}$.

여기서 ${\delta }_{mn}$은 크로네커 델타를 의미한다. 따라서, 르장드르 다항식은 구간 [-1,1]에서 서로 수직함을 알 수 있다. 이는 르장드르 방정식이 스튀름-리우빌 문제에 속하기 때문이다. 즉, 르장드르 미분 방정식을 다음과 같이 스튀름-리우빌 형식으로 놓을 수 있다.

$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d}{dx}P(x)]+\lambda P(x)=0$

여기서 고윳값 $\lambda =n(n+1)$이다. 스튀름-리우빌 문제의 해의 집합은 일반적으로 함수 공간의 정규 직교 기저를 이루므로, 르장드르 다항식도 마찬가지로 직교 기저를 이룬다. (다만, 통상적으로 그 노름이 1이 아니게 정의한다.)

르장드르 다항식의 계산 및 표현

르장드르 다항식은 점화식이나 선적분, 생성 함수 등 여러 방법으로 표현할 수 있다.

로드리게스 공식

로드리게스 공식(Rodrigues’ formula)은 르장드르 다항식의 일반식이며, 다음과 같다.

$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}[(x^2-1{)}^n].$

점화식

르장드르 다항식은 다음과 같은 점화식을 만족한다.

$(k+1)P_{k+1}(x)-(2k+1)x{P}_k(x)-k{P}_{k-1}(x)=0$

생성 함수

르장드르 다항식은 다음과 같은 생성 함수를 가진다.

$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n(x)t^n$.

선적분을 통한 표현

르장드르 다항식은 유수적분을 통해 다음과 같은 적분 형태로 표현될 수 있다.

$P_n(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint (1-2tz+t^2{)}^{\frac{-1}{2}}{t}^{-(n+1)}dt$

여기서 적분 경로는 원점을 중심으로 하는 임의의 반시계방향의 폐곡선이다.

같이 보기

• 가우스 구적법

외부 링크

• “Legendre polynomials” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.