고유 함수

일반위상수학에서 고유 함수(固有函數, 영어: proper map)은 콤팩트 집합의 원상이 콤팩트한 연속 함수이다.

정의

위상 공간 $X, Y$ 사이의 연속 함수 $f : X \to Y$ 가 다음 성질을 만족시키면, $f$ 를 고유 함수라고 한다.

K \subset Y

에 대하여,

K^{- 1} (f) \subset X

(스킴의 고유 사상은 이 조건과 다른 조건이다.)

위상 공간 $X, Y$ 사이의 연속 함수 $f : X \to Y$ 가 다음 성질을 만족시키면, $f$ 를 준콤팩트 함수(準-, 영어: quasicompact map)라고 한다.

K \subset Y

에 대하여,

K^{- 1} (f) \subset X

이 조건은 스킴 이론에서 쓰인다. 두 스킴 사이의 준콤팩트 사상(영어: quasicompact morphism)은 준콤팩트 함수인 스킴 사상이다. (스킴 사상은 항상 연속 함수이다.) 공역 $Y$ 가 하우스도르프 공간이라면 $Y$ 의 콤팩트 열린집합은 열린닫힌집합이며, $Y$ 가 하우스도르프 연결 공간인 경우 이는 공집합이거나 $Y$ 전체이다. 따라서, 공역이 하우스도르프 연결 공간인 경우 준콤팩트 함수의 개념은 자명하다. 그러나 대부분의 스킴은 하우스도르프 공간이 아니다.

정의에 따라서, 연속 함수에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

고유 함수

⊊

준콤팩트 함수

⊊

연속 함수

어떤 연속 함수 $f : X \to Y$ 에 대하여, 닫힌 함수이며 또한 모든 점 $y \in Y$ 의 원상이 콤팩트 집합이라면 $f$ 는 고유 함수이다. 만약 $Y$ 가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 그 역도 성립한다.

만약 $X, Y$ 가 거리 공간이라면, 고유성은 다음 개념을 통해 정의할 수 있다.

X

속의 수열

x_{i} \in X

가 주어졌다고 하자. 만약 모든 콤팩트 집합

K

에 대하여

K \cap {x_{i}}_{i \in ℕ}

가 유한 집합이라면,

(x_{i})_{i \in ℕ}

를 무한대로 달아난다(영어: escape to infinity)고 한다.

거리 공간 사이의 연속 함수 $f : X \to Y$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

스킴 사상 $f : X \to Y$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

준콤팩트 사상이다.^[1]^{:242, Proposition and Definition 10.1(i)}
임의의 아핀 열린집합 $A \subseteq Y$ 에 대하여, $f^{- 1} (A)$ 는 콤팩트 집합이다.^[2]^{:91, Exercise II.3.2} (모든 아핀 스킴은 콤팩트 공간이다.)
$Y$ 는 $f$ 에 대한 원상이 콤팩트 집합인 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개 ${ι_{i} : Spec R_{i} \to Y}_{i \in I}$ 를 갖는다.^[1]^{:242, Proposition and Definition 10.1(ii)}

그러나 마지막 조건에서, "원상이 콤팩트 집합인 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개"를 "원상이 콤팩트 집합인 콤팩트 열린 부분 스킴으로 구성된 열린 덮개"로 약화시킨다면 이는 동치이지 않다.^[3]^{:Remark 1.5}

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

↑ ^가 ^나 Görtz, Ulrich; Wedhorn, Torsten. 《Algebraic geometry. Part I: Schemes. With examples and exercises》 (영어).
↑ Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
↑ Vistoli, Angelo (2007). “Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory” (영어). arXiv:math/0412512. Bibcode:2004math.....12512V.

“Proper map” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Compact mapping” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Perfect mapping” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Proper map” (영어). 《nLab》.
“Quasicompact morphism” (영어). 《nLab》.