그로텐디크 아벨 범주

호몰로지 대수학에서 그로텐디크 아벨 범주(Grothendieck Abel範疇, 영어: Grothendieck Abelian category)는 특별히 좋은 성질을 가져, 호몰로지 대수학을 전개하기 간편한 아벨 범주이다.

정의

AB5 아벨 범주(AB5 Abel範疇, 영어: AB5 Abelian category)는 다음 조건들을 만족시키는 아벨 범주이다.

• 쌍대 완비 범주이다.
• 완전열의 여과 쌍대 극한(영어: filtered colimit)이 존재하며, 완전열을 이룬다. 즉, 상향 원순서 집합 $I$의 첨자를 가진 짧은 완전열들 $\{0\to A_i\to B_i\to C_i\to 0{\}}_{i\in I}$이 주어졌을 때, 그 쌍대 극한 $0\to \underset{i\in I}{\underrightarrow{\lim }}{A}_i\to \underset{i\in I}{\underrightarrow{\lim }}{B}_i\to \underset{i\in I}{\underrightarrow{\lim }}{C}_i\to 0$이 존재하며 역시 짧은 완전열을 이룬다. (만약 쌍대 극한들이 존재한다면 이는 일반적으로 오른쪽에서만 완전열을 이룬다. 즉, 이 조건은 위 완전열이 왼쪽에서도 완전하다는 것을 뜻한다.)

쌍대 완비 아벨 범주에서 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 생성 대상을 갖는다.
• 생성 집합을 갖는다.

이는 생성 집합 $𝔊$를 갖는 쌍대 완비 아벨 범주의 경우, $𝔊$의 쌍대곱

$G=\coprod 𝔊$

가 생성 대상을 이루기 때문이다.

그로텐디크 아벨 범주 $𝒜$는 생성 대상을 갖는 AB5 아벨 범주이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 대상 $G\in 𝒞$가 존재한다.

• ${\mathrm{hom}}_{𝒞}(G,-):𝒞\to \mathrm{Set}$는 충실한 함자이다.

성질

모든 그로텐디크 아벨 범주는 다음 성질들을 만족시킨다.

• 완비 범주이며, 쌍대 완비 범주이다.
• 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며,^{:135, Théorème 1.10.1} 모든 대상이 단사 껍질을 갖는다. (그러나 일반적으로 사영 대상을 충분히 가지는 범주가 아니며, 사영 덮개가 존재하지 않을 수 있다.)
• 단사 대상인 쌍대 생성 대상을 갖는다.
• 대상 $X$의 부분 대상들의 부분 순서 집합 $\mathrm{Sub}(X)$은 완비 격자이다. 즉, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다.
• (가브리엘-포페스쿠 정리 영어: Gabriel–Popescu theorem) $𝒜$의 임의의 생성 대상 $G$에 대하여, 표현 가능 가법 함자 $𝒜\to {\mathrm{Mod}}_{{\mathrm{End}}_{𝒜}(G)},X\mapsto {\mathrm{hom}}_{𝒜}(G,X)$는 충실충만한 함자이며, 왼쪽 수반 함자를 가지며, 이 왼쪽 수반 함자는 완전 함자이다. 즉, 그로텐디크 아벨 범주는 가군 범주의 반사 부분 범주로 여길 수 있다.

예

1을 가진 환 $R$에 대한 왼쪽 가군들과 가군 준동형들의 범주 ${}_R\mathrm{Mod}$ (또는 오른쪽 가군들의 범주 ${\mathrm{Mod}}_R\cong {}_{R^{\mathrm{op}}}\mathrm{Mod}$)은 그로텐디크 아벨 범주이다.

임의의 위치 $𝒳$ 위의, 아벨 군 값의 층의 범주 $\mathrm{Sh}(𝒳;\mathrm{Ab})$는 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다.

임의의 환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$ 위의 가군층들의 범주 ${𝒪}_X\text{-Mod}$는 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다. 만약 $X$가 추가로 스킴을 이룬다면, 준연접층의 범주 $\mathrm{QCoh}(X)$ 역시 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다.

역사

1957년에 알렉산더 그로텐디크는 범주가 만족시킬 수 있는 일련의 조건들 AB1~AB6들을 정의하였다. 이 가운데, AB1 및 AB2를 만족시키는 범주는 오늘날 "아벨 범주"로 불리며, AB1~AB3를 만족시키는 범주는 쌍대 완비 아벨 범주와 같은 개념이다. AB5는 AB4, AB3을 함의하며, 이 때문에 AB5 공리를 만족시키는 아벨 범주를 "AB5 아벨 범주"라고 한다. 같은 논문에서 그로텐디크는 생성 대상을 갖는 AB5 아벨 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주임을 증명하였으며,^{:135, Théorème 1.10.1} 이 때문에 이러한 범주가 "그로텐디크 범주"로 불리게 되었다.

가브리엘-포페스쿠 정리는 1964년에 피에르 가브리엘(프랑스어: Pierre Gabriel, 1933~2005)과 니콜라에 포페스쿠(언어 오류(ro): Nicolae Popescu, 1937~2010)가 증명하였다. (이 논문은 포페스쿠의 이름에 "Popesco"로 오타를 포함한 채 인쇄되었다.)

참고 문헌

• Garkusha, Grigory (1999). “Grothendieck categories” (영어). arXiv:math/9909030. Bibcode:1999math......9030G. 

외부 링크

• “Grothendieck category” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Grothendieck category” (영어). 《nLab》. 
• “Additive and abelian categories” (영어). 《nLab》. 
• “Gabriel-Popescu theorem” (영어). 《nLab》. 
• Mathew, Akhil (2013년 1월 12일). “The Gabriel-Popescu theorem and a variant of Kuhn” (영어).