내접원

파일:Triangle.Incircle.svg

삼각형의 내접원과 내심

내접원을 갖는 사각형

내접원(內接圓, 영어: inscribed circle, incircle)은 기하학에서 주어진 다각형의 모든 변에 접하는 원이다. 내심(內心, 영어: incenter)은 내접원의 중심을 일컫는다. 일반적인 다각형은 내접원을 갖지 않는다. 그러나 삼각형 또는 정다각형의 내접원은 항상 존재한다. 내심은 흔히 $I$ 로 표기하며, 내접원의 반지름은 흔히 $r$ 로 표기한다.

정의

다각형의 모든 변에 접하는 원을 이 다각형의 내접원이라고 한다. 내접원의 중심을 내심이라고 한다. 내접원을 갖는 다각형을 외접 다각형(外接多角形, 영어: tangential polygon, circumscribed polygon)이라고 한다.

성질

(내접원을 갖는) 다각형의 내접원은 그 내부에 포함되는 가장 큰 원이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심은 모든 내각 이등분선의 교점이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심과 모든 변 사이의 거리는 같다. 이는 내접원의 반지름이다.

모든 삼각형과 정다각형은 내접원을 갖는다. 정삼각형의 내심은 외심, 무게 중심, 수심과 일치한다. 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다. 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 내접원 및 세 방접원은 구점원과 접한다.

반지름

(내접원을 갖는) 다각형의 내접원의 반지름 $r$ 은 넓이 $S$ 와 반둘레 $s$ 를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

r = \frac{S}{s}

삼각형의 세 변의 길이가 $a$ , $b$ , $c$ , 반둘레가 $s$ , 넓이가 $S$ , 외접원의 반지름이 $R$ , 방접원의 반지름이 $r_{A}$ , $r_{B}$ , $r_{C}$ 라고 할 때, 내접원의 반지름은 다음과 같다.

\begin{matrix} r & = \sqrt{\frac{(s - a) (s - b) (s - c)}{s}} \\ = \frac{a b c}{4 s R} \\ = \frac{1}{\frac{1}{r_{A}} + \frac{1}{r_{B}} + \frac{1}{r_{C}}} \\ = r_{A} + r_{B} + r_{C} - 4 R \end{matrix}

첫 등호는 헤론의 공식에 의한다.

접점과 중심각

삼각형 $A B C$ 의 내심을 $I$ 라고 하고, 내접원과 두 변 $A C$ , $B C$ 의 접점을 각각 $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하고, 직선 $A I$ 와 $T_{B} T_{C}$ 의 교점을 $P$ 라고 할 때, $B P$ 는 $A I$ 의 수선이다.^[1]^{:31, §3.4}

삼각형 $A B C$ 의 내접원의 $A$ , $B$ , $C$ 의 대변에서의 접점을 각각 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하고, 반둘레를 $s$ , $A$ , $B$ , $C$ 의 대변의 길이를 각각 $a$ , $b$ , $c$ 라고 할 때, 다음이 성립한다.

A T_{B} = A T_{C} = s - a

B T_{C} = B T_{A} = s - b

C T_{A} = C T_{B} = s - c

삼각형 $A B C$ 의 내심 $I$ 와 꼭짓점들이 이루는 각의 크기는 다음과 같다.

∠ A I B = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A C B

∠ B I C = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ B A C

∠ C I A = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ C B A

외접원과의 관계

삼각형의 외접원과 내접원의 반지름을 $R$ , $r$ 라고 할 때, 내심 $I$ 와 외심 $O$ 사이의 거리는 다음과 같다 (오일러 삼각형 정리).

O I = \sqrt{R^{2} - 2 R r}

특히 다음과 같은 부등식이 성립한다 (오일러의 부등식).

R \geq 2 r

삼각형 $A B C$ 의 내심을 $I$ , 외접원의 호 $B C$ 의 중점 $M$ 이라고 할 때, 다음이 성립한다 (맨션 정리).

M I = M B = M C

내심 삼각형

삼각형 $A B C$ 의 내각 이등분선 $A I_{A}$ , $B I_{B}$ , $C I_{C}$ 의 발 $I_{A}$ , $I_{B}$ , $I_{C}$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 $A B C$ 의 내심 삼각형(內心三角形, 영어: incentral triangle) $I_{A} I_{B} I_{C}$ 라고 한다. 즉, 내심 삼각형은 내심의 체바 삼각형이다.

제르곤 점과 제르곤 삼각형

파일:Intouch Triangle and Gergonne Point.svg

제르곤 점과 제르곤 삼각형

삼각형 $A B C$ 의 내접원과 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 의 대변의 접점을 각각 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분 $A T_{A}$ , $B T_{B}$ , $C T_{C}$ 는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 $A B C$ 의 제르곤 점(영어: Gergonne point) $X_{7}$ 이라고 한다. 삼각형 $A B C$ 의 내접원의 세 접점 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 $A B C$ 의 제르곤 삼각형(영어: Gergonne triangle) 또는 내촉 삼각형(영어: intouch triangle) 또는 접촉 삼각형(영어: contact triangle) $T_{A} T_{B} T_{C}$ 라고 한다. 즉, 제르곤 삼각형은 내심의 수족 삼각형이자 제르곤 점의 체바 삼각형이다.

증명:

다음 등식 및 체바 정리에 따라 선분 $A T_{A}$ , $B T_{B}$ , $C T_{C}$ 는 한 점에서 만난다.

\frac{A T_{C}}{T_{C} B} \cdot \frac{B T_{A}}{T_{A} C} \cdot \frac{C T_{B}}{T_{B} A} = \frac{s - a}{s - b} \cdot \frac{s - b}{s - c} \cdot \frac{s - c}{s - a} = 1

제르곤 점은 제르곤 삼각형의 대칭 중점이다.^[1]^{:62, §7.4, (iv)}

삼각형 $A B C$ 의 내접원과 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 의 대변의 접점을 각각 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하고, 제르곤 점을 $X_{7}$ 라고 하자. 제르곤 점 $X_{7}$ 을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 $T_{A} T_{B}$ , $T_{B} T_{C}$ , $T_{C} T_{A}$ 의 평행선 $P S$ , $R U$ , $T Q$ 와 원래 삼각형 $A B C$ 의 두 변 $B C$ 와 $C A$ , $C A$ 와 $A B$ , $A B$ 와 $B C$ 의 교점을 각각 $P$ 와 $S$ , $R$ 와 $U$ , $T$ 와 $Q$ 라고 하자. 그렇다면 이 6개의 교점은 한 원 위에 있다. 이 원을 삼각형 $A B C$ 의 애덤스 원(영어: Adams’ circle)이라고 한다.^[1]^{:62, §7.4, (v)} 애덤스 원은 내접원과 동심원이다.^[1]^{:62, §7.4, (v)}

증명:

6개의 점 $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ , $T$ , $U$ 와 내심 $I$ 사이의 거리가 같음을 증명하는 것으로 충분하다. 이는 직각 삼각형 $I T_{A} P$ , $I T_{A} Q$ , $I T_{B} R$ , $I T_{B} S$ , $I T_{C} T$ , $I T_{C} U$ 의 빗변이다. $I T_{A} = I T_{B} = I T_{C}$ 는 내접원의 반지름이므로

P T_{A} = T_{A} Q = R T_{B} = T_{B} S = T T_{C} = T_{C} U

를 보이는 것으로 충분하며, 대칭성에 따라 $P T_{A} = T_{A} Q = S T_{B}$ 를 보이는 것으로 충분하다.

같은 점을 지나는 원의 두 접선의 길이는 같으므로 $C T_{A} = C T_{B}$ 이다. 직선 $P S$ 와 $T_{A} T_{B}$ 는 평행하므로 $C P = C S$ 이다. 따라서 $P T_{A} = S T_{B}$ 이다.

선분 $T_{A} T_{B}$ , $T_{A} T_{C}$ 의 연장선과 점 $A$ 를 지나는 직선 $B C$ 의 평행선의 교점을 각각 $D$ , $E$ 라고 하자. 그렇다면 직선 $D E$ 와 $B C$ 는 평행하며 삼각형 $C T_{A} T_{B}$ , $B T_{A} T_{C}$ 는 이등변 삼각형이므로

D A = A T_{C} = A T_{B} = E A

이며, 선분 $T_{A} A$ 는 삼각형 $T_{A} D E$ 의 중선이다. 직선 $D E$ , $P S$ , $Q T$ 는 각각 직선 $B C$ , $T_{A} T_{B}$ , $T_{A} T_{C}$ 와 평행하므로, 삼각형 $T_{A} D E$ 와 선분 $T_{A} A$ 의 합집합은 삼각형 $X_{7} P Q$ 와 선분 $X_{7} T_{A}$ 의 합집합과 닮음이다. 따라서 선분 $X_{7} T_{A}$ 역시 삼각형 $X_{7} P Q$ 의 중선이다. 즉, $P T_{A} = T_{A} Q$ 이다.

삼각형 $A B C$ 의 내접원과 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 의 대변의 접점을 각각 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하고, 제르곤 점을 $X_{7}$ 라고 하자. 제르곤 점 $X_{7}$ 을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 $T_{A} T_{B}$ , $T_{B} T_{C}$ , $T_{C} T_{A}$ 의 평행선 $P S$ , $R U$ , $T Q$ 와 원래 삼각형 $A B C$ 의 두 변 $B C$ 와 $C A$ , $C A$ 와 $A B$ , $A B$ 와 $B C$ 의 교점을 각각 $P$ 와 $S$ , $R$ 와 $U$ , $T$ 와 $Q$ 라고 하자. 직선 $U P$ 와 $Q R$ , $Q R$ 와 $S T$ , $S T$ 와 $U P$ 의 교점을 각각 $X$ , $Y$ , $Z$ 라고 하자. 그렇다면 삼각형 $A B C$ 의 제르곤 점 $X_{7}$ 은 삼각형 $X Y Z$ 의 대칭 중점이며, 삼각형 $A B C$ 의 애덤스 원은 삼각형 $X Y Z$ 의 제1 르무안 원이다.^[1]^{:98, Exercise 9.2}

역사

제르곤 점 및 제르곤 삼각형은 프랑스의 수학자 조제프 디에즈 제르곤(프랑스어: Joseph Diez Gergonne)의 이름을 땄다.

애덤스 원 관련 결과들은 1843년에 C. 애덤스(영어: C. Adams)가 제시하였다.^[1]^{:62, §7.4, (v)}

참고 문헌

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》 (영어). New Mathematical Library 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Incircle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Incenter” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Inradius” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Incentral triangle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Incentral circle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Gergonne point” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Contact triangle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Adams' circle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Gergonne line” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

[Honsberger-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》 (영어). New Mathematical Library 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.

[1]

v t e 삼각형의 중심
오심	내심 외심 방심 무게 중심 수심
다른 중요한 중심들	구점원의 중심 대칭 중점 제르곤 점 나겔 점 Mittenpunkt 슈피커 중심 포이어바흐 점 페르마 점 Isodynamic points Napoleon points Steiner point