삼각형의 중심

기하학에서 삼각형의 중심은 삼각형의 고유한 위치이다. 그 중에서 오심(五心)은 가장 널리 알려진 예이다. 내심, 외심, 방심은 원의 중심이고, 무게중심, 수심은 원의 중심이 아니다.

종류

삼각형의 오심

외심

삼각형의 외접원의 중심으로 세 변의 수직이등분선의 교점이다. 예각삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 있고, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이며, 둔각삼각형의 외심은 삼각형의 외부에 있다.

모양중심(무게중심)

삼각형의 꼭짓점과 그 마주보는 변의 중점을 이은 세 개의 선분(중선)이 만나는 점의 교점이다. 세 꼭짓점의 좌표가 각각 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ 인 삼각형의 무게중심의 좌표의 공식으로는 $(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3})$ 가 있다.

수심

삼각형의 세 꼭짓점에서 각각의 대변에 내린 수선의 교점이다.

방심

삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선의 교점이다. 서로 다른 3개의 방심이 생긴다.

삼각형의 여러 중심들

삼각형의 중심들	이름	기호	삼선좌표(Trilinear Coordinates)
X₁	내심	I	1 : 1 : 1
X₂	무게중심	G	bc : ca : ab
X₃	외심	O	cos A : cos B : cos C
X₄	수심	H	sec A : sec B : sec C
X₅	구점원의 중심	N	cos(B − C) : cos(C − A) : cos(A − B)
X₆	대칭중심	K	a : b : c
X₇	제르곤 점	G_e	bc/(b + c − a) : ca/(c + a − b) : ab/(a + b − c)
X₈	나겔 점	N_a	(b + c − a)/a : (c + a − b)/b: (a + b − c)/c
X₉	Mittenpunkt	M	b + c − a : c + a − b : a + b − c
X₁₀	슈피커 중심	S_p	bc(b + c) : ca(c + a) : ab(a + b)
X₁₁	포이어바흐 점	F	1 − cos(B − C) : 1 − cos(C − A) : 1 − cos(A − B)
X₁₃	페르마 점	X	csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3) *
X₁₅ X₁₆	Isodynamic points	S S′	sin(A + π/3) : sin(B + π/3) : sin(C + π/3) sin(A − π/3) : sin(B − π/3) : sin(C − π/3)
X₁₇ X₁₈	Napoleon points	N N′	sec(A − π/3) : sec(B − π/3) : sec(C − π/3) sec(A + π/3) : sec(B + π/3) : sec(C + π/3)
X₉₉	Steiner point	S	bc/(b² − c²) : ca/(c² − a²) : ab/(a² − b²)

같이 보기

v t e 삼각형의 중심
오심	내심 외심 방심 무게 중심 수심
다른 중요한 중심들	구점원의 중심 대칭 중점 제르곤 점 나겔 점 Mittenpunkt 슈피커 중심 포이어바흐 점 페르마 점 Isodynamic points Napoleon points Steiner point