외접원

파일:Triangle.Circumcenter.svg

삼각형의 외접원과 외심

기하학에서 외접원(外接圓, 영어: circumscribed circle, circumcircle)은 주어진 다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이다. 외심(外心, 영어: circumcenter)은 외접원의 중심을 일컫는다. 모든 삼각형과 정다각형은 외접원을 갖는다. 그러나 모든 다각형에 외접원이 존재하는 것은 아니다.

정의

다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이 존재한다면, 이 원을 이 다각형의 외접원이라고 한다. 다각형의 외접원의 중심을 이 다각형의 외심이라고 한다. 외접원을 갖는 (볼록) 다각형을 내접 다각형(內接多角形, 영어: cyclic polygon, inscribed polygon)이라고 한다. 특히 외접원을 갖는 (볼록) 사각형을 내접 사각형이라고 한다.

성질

다각형이 외접원을 갖는다면, 그 외심은 모든 변의 수직 이등분선의 교점이며, 외심과 다각형의 각 꼭짓점 사이의 거리는 외접원의 반지름이므로 모두 같다.

모든 삼각형과 정다각형은 외접원을 갖는다. 즉, 모든 삼각형과 정다각형은 내접 다각형이다.

예각·직각·둔각 삼각형의 외심

예각 삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 속한다. 직각 삼각형의 외심은 빗변의 중점이다. 둔각 삼각형의 외심은 삼각형의 외부에 속한다.

반지름

삼각형 $A B C$ 의 외접원의 반지름을 $R$ 라고 하고, 세 변의 길이를 $a = B C$ , $b = C A$ , $c = A B$ 라고 하자. 그렇다면 다음 등식들이 성립한다 (사인 법칙).

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R

삼각형의 넓이를 $S$ 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

S = \frac{a b c}{4 R}

증명:

삼각형의 넓이는 한 변의 길이 $a$ 와 그 변 위의 높이 $b \sin C$ 의 곱의 1/2이므로, 사인 법칙에 따라

S = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} a b \cdot \frac{c}{2 R} = \frac{a b c}{4 R}

이다.

삼각형의 내접원의 반지름을 $r$ 라고 하자. 그렇다면 외심 $O$ 와 내심 $I$ 사이의 거리는 다음과 같다 (오일러 삼각형 정리).

O I = \sqrt{R^{2} - 2 R r}

특히 다음 부등식이 성립한다 (오일러 부등식).

R \geq 2 r

오일러 직선

삼각형의 외심, 무게 중심, 수심, 구점원의 중심은 한 직선 위의 점이며, 정삼각형이 아닐 경우 이 네 중심을 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이를 주어진 삼각형의 오일러 직선이라고 한다.

사각형

(볼록) 사각형 $A B C D$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

내접 사각형이다. (즉, 외접원을 갖는다.)
(두 대각의 합은 $18 0^{\circ}$ ) $∠ B A D + ∠ B C D = 18 0^{\circ}$
(원주각) $∠ A C B = ∠ A D B$
(방멱 정리) 두 대각선 $A C$ , $B D$ 의 교점을 $E$ 라고 할 때, $E A \cdot E C = E B \cdot E D$
(프톨레마이오스 정리) $A B \cdot C D + A D \cdot B C = A C \cdot B D$

미켈 정리

삼각형 $A B C$ 및 직선 $B C$ , $C A$ , $A B$ 위의 점 $D$ , $E$ , $F$ 가 주어졌다고 하자. 미켈 정리(영어: Miquel theorem)에 따르면, 삼각형 $A E F$ , $B F D$ , $C D E$ 의 외접원은 한 점 $P$ 에서 만난다. 이 경우 점 $P$ 를 삼각형 $A B C$ 에 대한 점 $D$ , $E$ , $F$ 의 미켈 점(영어: Miquel point)이라고 한다. 만약 $D$ , $E$ , $F$ 가 한 직선 위의 점이 아닐 경우, 삼각형 $D E F$ 를 삼각형 $A B C$ 에 대한 점 $P$ 의 한 미켈 삼각형(영어: Miquel triangle)이라고 한다.

증명:

편의상 $D$ , $E$ , $F$ 가 변 $B C$ , $C A$ , $A B$ 위의 점이며, 삼각형 $A E F$ , $B F D$ 의 외접원의 다른 한 교점 $P$ 가 삼각형 $A B C$ 의 내부에 속한다고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 $A E P F$ , $B D P F$ 는 내접 사각형이므로

∠ C E P = ∠ A F P = ∠ B D P

이다. 따라서 사각형 $C D P E$ 역시 내접 사각형이다.

네 직선으로 구성된 네 삼각형의 외접원은 한 점에서 만난다. 이는 미켈 정리에서 $D$ , $E$ , $F$ 가 한 직선 위의 점인 특수한 경우이다.

삼각형 $A B C$ 및 직선 $B C$ , $C A$ , $A B$ 위의 점 $D$ , $E$ , $F$ 및 점 $P$ 에 대하여, 삼각형 $D E F$ 가 점 $P$ 의 미켈 삼각형일 필요 충분 조건은 유향각 $∠ P F A$ , $∠ P D B$ , $∠ P E C$ 의 크기가 같은 것이다. 이에 따라, 주어진 점의 미켈 삼각형은 무한히 많이 존재한다. 수족 삼각형은 미켈 삼각형의 특수한 경우이다.

삼각형 $A B C$ 및 직선 $B C$ , $C A$ , $A B$ 위의 점 $D$ , $E$ , $F$ 및 미켈 점 $P$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.^[1]^{:133, §VII.186}

∠ B P C = ∠ B A C + ∠ E D F

∠ C P A = ∠ C B A + ∠ F E D

∠ A P B = ∠ A C B + ∠ D F E

여기서 모든 각도는 유향각이다.

증명:

편의상 $D$ , $E$ , $F$ 가 변 $B C$ , $C A$ , $A B$ 위의 점이며, 삼각형 $A E F$ , $B F D$ 의 외접원의 다른 한 교점 $P$ 가 삼각형 $A B C$ 의 내부에 속한다고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 $B D P F$ , $C D P E$ 는 내접 사각형이므로

∠ B P C = ∠ B P D + ∠ D P C = ∠ B F D + ∠ D E C = ∠ B A C + ∠ E D F

이다.

주어진 점의 모든 미켈 삼각형은 닮음이다. 구체적으로, 삼각형 $A B C$ 에 대한 점 $P$ 의 모든 미켈 삼각형은 $P$ 를 고정점으로 하는 방향 보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다.^[1]^{:134, §VII.188}

증명:

위 등식에 따라 삼각형 $A B C$ 에 대한 점 $P$ 의 미켈 삼각형 $D E F$ 의 세 내각의 크기

∠ E D F = ∠ B P C - ∠ B A C

∠ F E D = ∠ C P A - ∠ C B A

∠ D F E = ∠ A P B - ∠ A C B

는 미켈 삼각형 $D E F$ 의 선택과 무관하므로, 모든 미켈 삼각형은 (방향 보존 닮음 변환에 대하여) 닮음이다. 또한

∠ P D E = ∠ P C A

∠ P E F = ∠ P A B

∠ P F D = ∠ P B C

역시 미켈 삼각형의 선택과 무관하므로, 닮음 변환은 $P$ 를 고정점으로 갖는다.

키페르트 포물선과의 관계

삼각형의 모든 내접 포물선의 초점은 외접원 위의 점이다.^[2]^{:47, §5.5} 특히 삼각형의 키페르트 포물선(영어: Kiepert’s parabola)의 초점은 외접원 위의 점이다. 이는 종합 기하학의 방법을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

증명:

내접 포물선의 초점 $F$ 가 외접원 위의 점이라는 조건은 초점 $F$ 를 지나는 삼각형의 세 변의 수선의 발이 한 직선 위의 점인 것과 동치이다 (심슨 직선). 따라서 초점 $F$ 를 지나는, 포물선 위 임의의 점 $P$ 에서의 접선의 수선의 발이 항상 포물선의 꼭짓점 $V$ 에서의 접선 위의 점임을 보이는 것으로 충분하다.

점 $P$ 또는 초점 $F$ 를 지나는 준선의 수선의 발을 $D$ , $E$ 라고 하고, 꼭짓점 $V$ 에서의 접선과 $D F$ 의 교점을 $M$ 이라고 하자. 그렇다면 포물선의 꼭짓점 $V$ 는 선분 $E F$ 의 중점이며, $V M$ 과 $D E$ 는 평행하므로 $M$ 은 선분 $D F$ 의 중점이다. $P D = P F$ 이므로 $P M$ 은 $D F$ 의 수선이자 $∠ D P F$ 의 이등분선이다. 이에 따라 광선 $F P$ 가 직선 $P M$ 에 반사된 광선은 $D P$ 의 연장선이다. 포물선의 성질에 따라 초점을 지나는 광선 $F P$ 가 포물선에 반사된 광선은 $D P$ 의 연장선이므로, $P M$ 은 포물선의 $P$ 에서의 접선이다.

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications.
↑ Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》 (영어). New Mathematical Library 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Circumcircle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Circumcenter” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Circumradius” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Miquel’s theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Miquel point” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Miquel triangle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Miquel circles” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

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[Johnson-1] 가 ^나 Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications.

[Honsberger-2] Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》 (영어). New Mathematical Library 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.

[1]

[2]

v t e 삼각형의 중심
오심	내심 외심 방심 무게 중심 수심
다른 중요한 중심들	구점원의 중심 대칭 중점 제르곤 점 나겔 점 Mittenpunkt 슈피커 중심 포이어바흐 점 페르마 점 Isodynamic points Napoleon points Steiner point