리 준군

미분기하학에서, 리 준군(Lie準群, 영어: Lie groupoid)은 대상과 사상의 공간이 각각 매끄러운 다양체를 이루는 준군이다. (이산) 준군과 리 군의 공통적인 일반화이다.

정의

리 준군은 매끄러운 다양체의 범주 속의 준군 대상이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.

매끄러운 다양체 $X_{0}$ , $X_{1}$
매끄러운 함수 $dom : X_{1} \to X_{0}$ , $codom : X_{1} \to X_{0}$ . 이들은 사상의 정의역과 공역을 나타낸다.
사상의 합성 ${(f, g) \in X_{1} \times X_{1} : codom f = dom g} \to X_{1}$
매끄러운 함수 $id : X_{0} \to X_{1}$ . 이는 항등 사상을 나타낸다.

이 데이터는 준군의 공리들을 만족시켜야 한다.

마찬가지로, 리 2-준군(영어: Lie 2-groupoid), 리 3-준군(영어: Lie 3-groupoid) 등등을 정의할 수 있다. 예를 들어, 리 2-준군은 2-범주 가운데, 모든 1-사상과 2-사상이 가역원을 가지며, 또한 0-사상, 1-사상, 2-사상들이 각각 매끄러운 다양체 $X_{0}$ , $X_{1}$ , $X_{2}$ 를 이루며, 정의에 등장하는 모든 사상들이 매끄러운 함수가 되는 경우이다.

예

분류 공간

리 군 $G$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 하나의 대상만을 갖는 자명한 준군으로 여길 수 있으며, 이는 리 준군을 이룬다. 이를 $G$ 와 구별하기 위하여 $B (G)$ 로 쓴다. (이에 대응하는 슈발레-에일렌베르크 대수를 설리번 대수로 여기면, 이에 대응하는 위상 공간은 $G$ 의 분류 공간이다.)

만약 $G$ 가 아벨 리 군일 때는, 마찬가지로 $B^{2} (G) = B (B (G))$ , $B^{3} (G) = B (B (B (G)))$ 등등을 정의할 수 있다. 즉, $B^{k} (G)$ 는 하나의 0-사상, 1-사상, ……, 하나의 $k - 2$ -사상을 가지며, 그 $(k - 1)$ -사상의 매끄러운 다양체는 $G$ 이다.

만약 $G$ 가 아벨 군이 아니라면, 고차에서의 구성에서, 수평 합성이 수직 합성과 아래와 같이 가환해야 한다는 조건이 성립하지 못한다.

파일:2-category horizontal composition upper.svg	=	파일:2-category double composition.svg	=	파일:2-category vertical composition.svg	$\circ_{0}$	파일:2-category vertical composition.svg
$\circ_{1}$
파일:2-category horizontal composition lower.svg

체흐 준군

매끄러운 다양체 $X$ 의 열린 덮개 $𝒰 = (U_{i})_{i \in I}$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $𝒰$ 의 체흐 준군(영어: Čech groupoid) $\overset{ˇ}{C} (𝒰)$ 은 다음과 같은 리 준군이다.

$\overset{ˇ}{C} (𝒰)$ 의 대상들의 매끄러운 다양체는 $⨆_{i \in I} U_{i}$ 이다. 즉, 그 대상은 $x \in U_{i}$ 가 되는 순서쌍 $(x, U_{i})$ 이다.
$\overset{ˇ}{C} (𝒰)$ 의 사상들의 매끄러운 다양체는 $⨆_{i, j \in I} U_{i} \cap U_{j}$ 이다. 즉, 사상 $(x, U_{i}) \to (x, U_{j})$ 은 순서쌍 $(x, U_{i}, U_{j})$ 이다.
두 사상의 합성은 단순히 $(x, U_{j}, U_{k}) \circ (x, U_{i}, U_{j}) = (x, U_{i}, U_{k})$ 이다.
항등 사상은 단순히 $(x, U_{i}, U_{i})$ 의 꼴의 사상이다.

그렇다면, 다음과 같은 함자가 존재한다.

\overset{ˇ}{C} (𝒰) \to X

(x, U_{i}) \mapsto x

(x, U_{i}, U_{j}) \mapsto {id}_{x}

(이 함자의 공역은 모든 사상이 항등 사상인 자명한 리 준군이다.)

보다 일반적으로, 임의의 양의 정수 $n$ 에 대하여, 체흐 $n$ -준군을 정의할 수 있다. 이 경우, $k$ -사상의 매끄러운 다양체는

⨆_{i_{1}, \dots, i_{k} \in I} U_{i_{1}} \cap \dots \cap U_{i_{k}}

이다.

순서쌍 리 군

임의의 매끄러운 다양체 $M$ 에 대하여, 다음과 같은 순서쌍 리 준군(영어: pair Lie groupoid)을 정의할 수 있다.

그 대상(0-사상)의 매끄러운 다양체는 $M$ 이다.
1-사상의 매끄러운 다양체는 $M \times M$ 이다.
1-사상 $(x, y)$ , $(y, z)$ 의 합성은 $(x, z)$ 이다.

이에 대응하는 리 준대수는 $M$ 위의 벡터장들의 리 준대수 $T M$ 이다.

참고 문헌

Weinstein, Alan (1996년 7월). “Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 43 (7): 744–752. arXiv:math/9602220. 재출판 Weinstein, Alan (2001). 〈Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples〉. 《Groupoids in Analysis, Geometry, and Physics》 (PDF). American Mathematical Society. 1–19쪽. doi:10.1090/conm/282/04675. ISBN 978-0-8218-2042-1. ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie groupoid” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Lie groupoid” (영어). 《nLab》.

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