변형 수축

호모토피 이론에서 변형 수축(變形收縮, 영어: deformation retract)은 호모토피 유형을 보존시키면서 어떤 위상 공간을 그 부분 공간으로 오그라뜨리는 과정이다. 모든 변형 수축은 호모토피 동치이며, 반대로 모든 호모토피 동치는 변형 수축들로 나타낼 수 있다.

정의

위상 공간 $X$의 부분 공간 $i:A\hookrightarrow X$에 대하여, 만약 연속 함수 $r:X\to A$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, $r$를 $X$에서 $A$로의 약한 변형 수축이라고 한다.

• $r\circ i={\mathrm{id}}_A$
• $i\circ r\simeq {\mathrm{id}}_X$

즉, 그림으로는 다음과 같다.

$\begin{array}{ccc}A& \stackrel{i}{\hookrightarrow }& X\\ \mathrm{id}\downarrow & =& \downarrow \mathrm{id}\\ A& \underset{r}{\overset{}{\leftarrow }}& X\end{array}\begin{array}{ccc}A& \stackrel{i}{\hookrightarrow }& X\\ \mathrm{id}\uparrow & \simeq & \uparrow \mathrm{id}\\ A& \underset{r}{\overset{}{\leftarrow }}& X\end{array}$

즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피 $h:X\times [0,1]\to A$가 존재하여야 한다.

$h(x,0)=x\mathrm{\forall }x\in X$

$h(x,1)\in A\mathrm{\forall }x\in X$

$h(x,1)=r(x)\mathrm{\forall }x\in X$

$r(a)=a\mathrm{\forall }a\in A$

위상 공간 $X$의 부분 공간 $i:A\hookrightarrow X$에 대하여, 만약 연속 함수 $r:X\to A$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, $r$를 $X$에서 $A$로의 강한 변형 수축(영어: strong deformation retract)이라고 한다.^:2:361

• $r\circ i={\mathrm{id}}_A$
• $i\circ r\simeq {\mathrm{id}}_X(\mathrm{rel}A)$

즉, 그림으로는 다음과 같다.

$\begin{array}{ccc}A& \stackrel{i}{\hookrightarrow }& X\\ \mathrm{id}\downarrow & =& \downarrow \mathrm{id}\\ A& \underset{r}{\overset{}{\leftarrow }}& X\end{array}\begin{array}{ccc}A& \stackrel{i}{\hookrightarrow }& X\\ \mathrm{id}\uparrow & \simeq \mathrm{rel}A& \uparrow \mathrm{id}\\ A& \underset{r}{\overset{}{\leftarrow }}& X\end{array}$

즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피 $h:X\times [0,1]\to A$가 존재하여야 한다.

$h(x,0)=x\mathrm{\forall }x\in X$

$h(x,1)\in A\mathrm{\forall }x\in X$

$h(x,1)=r(x)\mathrm{\forall }x\in X$

$h(a,t)=a\mathrm{\forall }a\in A,t\in [0,1]$

성질

위상 공간 $X$의 약한 변형 수축 $A\subseteq X$가 주어졌을 때, $A$는 $X$와 (강하게) 호모토피 동치이다.

일반적으로, 위상 공간 $X$ 및 $Y$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^{:16, Corollary 0.21}

• $X$와 $Y$가 (강하게) 호모토피 동치이다.
• 어떤 위상 공간 $Z$ 및 포함 사상 $X\hookrightarrow Z$ 및 $Y\hookrightarrow Z$에 의하여, $X$와 $Y$는 둘 다 $Z$의 약한 변형 수축이다.
• 어떤 위상 공간 $Z$ 및 포함 사상 $X\hookrightarrow Z$ 및 $Y\hookrightarrow Z$에 의하여, $X$와 $Y$는 둘 다 $Z$의 강한 변형 수축이다.

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 축약 가능 공간이다.
• $\{x\}$가 $X$의 약한 변형 수축을 이루는 $x\in X$가 존재한다.

그러나 한 점으로 강하게 변형 수축할 수 없는 축약 가능 공간이 존재한다.^{:18, Exercise 0.6b, 0.7}

예

원점을 제거한 유클리드 공간 ${ℝ}^n\setminus \{0\}$의 부분 공간인 $n-1$차원 초구

$S^{n-1}=\{𝐱\in {ℝ}^n\setminus \{0\}:\Vert 𝐱\Vert =1\}$

는 다음과 같은 호모토피를 통해 강한 변형 수축을 이룬다.

$h:({ℝ}^n\setminus \{0\})\times [0,1]\to {ℝ}^n\setminus \{0\}$

$h:(𝐱,t)\mapsto \Vert 𝐱{\Vert }^{-t}𝐱$

역사

카롤 보르수크가 1930년 박사 학위 논문에서 도입하였다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Deformation retract” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Strong deformation retract” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Deformation retract” (영어). 《nLab》. 

같이 보기

• 수축 (범주론)
• 호모토피 동치