보렐-베유-보트 정리

리 군 이론에서, 보렐-베유-보트 정리(영어: Borel–Weil–Bott theorem)는 반단순 리 군의 기약 표현을 어떤 복소수 선다발의 층 코호몰로지 군으로 나타내는 정리이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

복소수 반단순 리 군 $G$
극대 원환면 $T \leq G$
보렐 부분군 $T \leq B \leq G$
$B$ 의 멱일 근기 $U \leq B \leq G$ . 특히 $B / U = T$ 이다.
$\begin{matrix} T & \subset & B & \subset & G \\ \cup \\ U \end{matrix}$
$T$ 의 정수 무게 $λ : Lie (T)^{*} \to ℂ$ . 즉, 군 표현 $T \to GL (1; ℂ) = Unit (ℂ)$ .

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

사영 사상 $B ↠ B / U = T$ 을 통한 $B$ 의 군 표현 $C_{λ} : B \to GL (1; ℂ)$
$B$ -주다발 $G ↠ G / B$ 에 대한, $C_{λ}$ 의 연관 벡터 다발 $(G \times ℂ) / B = L_{- λ}$ . 이는 복소수 선다발이다.
$L_{- λ}$ 계수의 층 코호몰로지 군 $H^{i} (G / B; L_{- λ})$ . 이는 각 자연수 $i$ 에 대한 복소수 벡터 공간이다.
또한, $G$ 가 $(G \times ℂ) / B = L_{- λ}$ 위에 (왼쪽에서) 작용하므로, $G$ 는 층 코호몰로지 군 $H^{i} (G / B; L_{- λ})$ 위에 작용한다. 즉, 층 코호몰로지 군들은 군 대수 $ℂ [G]$ 의 왼쪽 가군을 이룬다.

또한, 다음을 정의할 수 있다.

$ρ$ 가 $G$ 의 모든 양근들의 합 ×½이라고 하자.
정수 무게 $λ$ 및 바일 군 $W (G)$ 의 임의의 원소 $w \in W (G)$ 에 대하여, 작용 $w λ = w (λ + ρ) - ρ$ . 이에 따라 바일 군은 정수 무게 격자 위의 왼쪽 군의 작용을 갖는다.
$length : W (G) \to ℕ$ 은 콕서터 군의 원소에 대한 길이 함수이다.

이제, 다음과 같은 두 가지 경우 가운데 하나가 성립한다.

바일 군 작용에 대한, $λ$ 의 안정자군은 자명군이 아니다 ( $\exists w \neq 1 : w λ = λ$ ). 이는 임의의 $w \in W (G)$ 에 대하여 $w λ$ 가 항상 우세 무게가 아닌 것과 동치이다. 이는 또한 어떤 양근 $β$ 에 대하여 $⟨ λ | β^{\lor} ⟩ = 0$ 인 것과 동치이다.
$w λ$ 가 우세 무게가 되는 바일 군 원소 $w \in W (G)$ 가 유일하게 존재한다. 이를 $w_{λ}$ 라고 하자. 또한, 우세 무게 $w λ$ 에 대응하는 $G$ 의 기약 표현이 $G \to GL (V)$ 라고 하자.

그렇다면, 각 경우에 대하여 보렐-베유-보트 정리에 따르면 층 코호몰로지 군 $H^{i} (G / B; L_{- λ})$ 는 다음과 같다.

$\forall i \in ℕ : H^{i} (G / B; L_{- λ}) = 0$
$H^{i} (G / B; L_{- λ}) = {\begin{matrix} 0 & i \neq length (w_{λ}) \\ V^{*} & i = length (w_{λ}) \end{matrix}$

특히, 이미 $λ$ 가 우세 무게인 경우, 항상 경우 2가 성립하며, $w_{λ} = 1$ 이자 $length (w_{λ}) = 0$ 이다. 이 경우를 보렐-베유 정리라고 한다.

다음과 같은 경우를 생각하자.

$G = SL (2; ℂ)$ (2×2 복소수 특수 선형군)
$B = B (2; ℂ) = {(\begin{matrix} a & b \\ 0 & a^{- 1} \end{matrix}) : a \in ℂ ∖ {0}, b \in ℂ}$ (상삼각 행렬로 구성된 부분군)
$U = {(\begin{matrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{matrix}) : b \in ℂ}$
$T = B / U ≅ ℂ^{\times}$
$G / B ≅ {ℂ P}^{1}$ (리만 구)
정수 무게 $λ$ . 이는 정수 $n \in ℤ$ 에 대하여 $ℂ^{\times} \to ℂ^{\times}$ , $z \mapsto z^{n}$ 으로 주어진다.
선다발 $L_{- λ}$ 는 리만 구의 표준 선다발의 거듭제곱 $𝒪 (n)$ 이다.
$G = A_{1}$ 의 근계는 1차원이며, 하나의 양근 2를 갖는다. 즉 $ρ = 1$ 이다.

이에 따라, 보렐-베유-보트 정리에 의하면

H^{0} ({ℂ P}^{1}; 𝒪 (n)) = Γ ({ℂ P}^{1}; 𝒪 (n)) ≅ {Sym}^{n} (ℂ^{2})^{*}

는 표준 (2차원) 표현의 $n$ 차 대칭 거듭제곱이다.

아르망 보렐과 앙드레 베유가 우세 무게에 대한 경우(즉, 0차 층 코호몰로지에 대응하는 경우)를 증명하였다. 이후 라울 보트가 이를 일반적 정수 무게에 대한 경우(즉, 고차 코호몰로지에 대응하는 경우)로 일반화하였다.

Baston, Robert J.; Eastwood, Michael G. (1989). 《The Penrose transform: its interaction with representation theory》 (영어). Oxford University Press.

“Bott–Borel–Weil theorem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Bott-Borel-Weil theorem” (영어). 《nLab》.

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