보편 계수 정리

대수적 위상수학에서 보편 계수 정리(普遍係數定理, 영어: universal coefficient theorem)는 정수 계수 호몰로지 또는 코호몰로지로부터 다른 모든 아벨 군 계수의 (코)호몰로지를 계산할 수 있다는 정리이다.

정의

호몰로지 보편 계수 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환환 $R$
• $R$-가군 $M$
• 각 성분이 $R$-평탄 가군인 사슬 복합체 $(C_{\bullet },\partial )$

호몰로지 보편 계수 정리에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.

$E_{p,q}^2={\mathrm{Tor}}_p^R({\mathrm{H}}_q(C_{\bullet }),M){\Rightarrow }_p{\mathrm{H}}_{p+q}(C_{\bullet }{\otimes }_{R}M)$

여기서 Tor는 Tor 함자이다.

특히, $R$가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면 $p\ge 2$에 대하여 ${\mathrm{Tor}}_p^R=0$이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.^{:47, Theorem 2.34}

$0\to {\mathrm{H}}_i(X;R){\otimes }_{\mathbb{Z}}M={\mathrm{Tor}}_0^R({\mathrm{H}}_i(X;R),M)\to {\mathrm{H}}_i(X;M)\to {\mathrm{Tor}}_1^R({\mathrm{H}}_i(X;\mathbb{Z}),M)\to 0$

그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다. 즉, ${\mathrm{H}}_i(X;M)$은 다음과 같은 상승 여과를 갖는다.

$\frac{F_p{\mathrm{H}}_i(X;M)}{F_{p-1}{\mathrm{H}}_i(X;M)}={\mathrm{Tor}}_p^R({\mathrm{H}}_i(X;R),M)$

특히, $R$가 주 아이디얼 정역이며 추가로 $M$이 평탄 가군이라고 하자. (만약 $R=\mathbb{Z}$라면, 이는 $M$이 꼬임 부분군이 없는 아벨 군이라는 조건이다.) 그렇다면 ${\mathrm{Tor}}_1^R(-,M)=0$이며, 따라서

${\mathrm{H}}_i(X;R){\otimes }_{\mathbb{Z}}M\cong {\mathrm{H}}_i(X;M)$

이다.

코호몰로지 보편 계수 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환환 $R$
• $R$-가군 $M$
• 각 성분이 $R$-자유 가군인 사슬 복합체 $(C_{\bullet },\partial )$

코호몰로지 보편 계수 정리에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.

$E_2^{p,q}={\mathrm{Ext}}_R^p({\mathrm{H}}_q(X;R),M){\Rightarrow }_p{\mathrm{H}}^{p+q}(X;M)$

여기서 Ext는 Ext 함자이다.

특히, $R$가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면 $p\ge 2$에 대하여 ${\mathrm{Ext}}_R^p=0$이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.^{:44, Theorem 2.29}

$0\to {\mathrm{Ext}}_R^1({\mathrm{H}}_{i-1}(C_{\bullet }),M)\to {\mathrm{H}}^1(C_{\bullet }{\otimes }_{R}M)\to {\mathrm{hom}}_R({\mathrm{H}}_i(C_{\bullet }),M)={\mathrm{Ext}}_R^0({\mathrm{H}}_i(C_{\bullet }),M)\to 0$

그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다. 즉, ${\mathrm{H}}^i(C_{\bullet }{\otimes }_{R}M)$은 다음과 같은 하강 여과를 갖는다.

$\frac{F^p{\mathrm{H}}_i(C_{\bullet }{\otimes }_{R}M)}{F^{p+1}{\mathrm{H}}_i(C_{\bullet }{\otimes }_{R}M)}={\mathrm{Ext}}_R^p({\mathrm{H}}_i(C_{\bullet }),M)$

특히, $R$가 주 아이디얼 정역이며 추가로 $M$이 단사 가군이라고 하자. (만약 $R=\mathbb{Z}$라면, 이는 $M$이 나눗셈군이라는 조건이다.) 그렇다면 ${\mathrm{Ext}}_R^1(-,M)=0$이며, 따라서

${\mathrm{H}}^1(C_{\bullet }{\otimes }_{R}M)\cong {\mathrm{hom}}_R({\mathrm{H}}_i(C_{\bullet }),M)$

이다.

각주

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001. 

외부 링크

• “Universal coefficient theorem” (영어). 《nLab》.