Tor 함자

호몰로지 대수학에서 Tor 함자(Tor函子, 영어: Tor functor)는 가군 텐서곱 함자의 유도 함자다.

정의

$R$이 (단위원을 가진) 환이고, ${}_R\mathrm{Mod}$이 $R$에 대한 왼쪽 가군들의 범주, ${\mathrm{Mod}}_R$이 $R$에 대한 오른쪽 가군들의 범주라고 하자. 이 범주들은 아벨 범주를 이룬다.

오른쪽 가군 $A\in {\mathrm{Mod}}_R$와 왼쪽 가군 $B\in {}_R\mathrm{Mod}$의 텐서곱을 취하여 아벨 군 $A{\otimes }_{R}B\in \mathrm{Ab}$를 취할 수 있다. 이 텐서곱 연산 ${\otimes }_R:{\mathrm{Mod}}_R\times {}_R\mathrm{Mod}\to \mathrm{Ab}$는 쌍함자(bifunctor)를 이룬다. 여기서 $\mathrm{Ab}$는 아벨 군들의 범주다.

$A{\otimes }_R:{}_R\mathrm{Mod}\to \mathrm{Ab}$는 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 그 왼쪽 유도 함자 $L^i(A\otimes )$를 취할 수 있다. 마찬가지로, ${\otimes }_{R}B:{\mathrm{Mod}}_R\to \mathrm{Ab}$ 또한 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 왼쪽 유도 함자 $L^i({\otimes }_{R}B)$를 취할 수 있다. 이 둘은 사실 같은 쌍함자를 이룬다. 즉,

$L^i(A{\otimes }_R)B=A(L^i{\otimes }_{R}B)={\mathrm{Tor}}_i^R(A,B)$

이다. 이 쌍함자 ${\mathrm{Tor}}_i^R:{\mathrm{Mod}}_R\times {}_R\mathrm{Mod}\to \mathrm{Ab}$를 Tor 함자라고 한다.

성질

Tor 함자는 직합을 보존한다. 즉,

${\mathrm{Tor}}_n^R(\underset{i\in I}{⨁}{M}_i,\underset{j\in J}{⨁}{N}_j)=\underset{i\in I}{⨁}\underset{j\in J}{⨁}{\mathrm{Tor}}_n^R(M_i,N_j)$

이다.

만약 $R$가 가환환인 경우, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.

${\mathrm{Tor}}_n^R(M,N)\cong {\mathrm{Tor}}_n^R(M,N)$

또한, 이 경우 ${\mathrm{Tor}}_n^R(M,N)$은 $R$ 위의 가군의 구조를 갖는다.

만약 $R$가 가환환이며, $r\in R$가 영인자가 아닐 때, 다음이 성립한다.

${\mathrm{Tor}}_1^R(R/(r),M)=\ker (r\cdot )=\{m\in M:rm=0\}$

예

벡터 공간

체 $K$ 위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이다. 즉, 벡터 공간 $V$의 사영 분해는 자명하다.

$0\to P_0=V\to V\to 0$

따라서, $K$ 위의 벡터 공간 $V$, $W$가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다.

${\mathrm{Tor}}_0^K(V,W)=V{\otimes }_{K}W$

${\mathrm{Tor}}_n^K(V,W)=0\mathrm{\forall }n>0$

아벨 군

정수환 $\mathbb{Z}$ 위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 $G$는 자유 아벨 군 $P_0$의 몫군 $P_0/P_1$으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.

$0\to G\to P^0\to P^1\to 0$

아벨 군 $G$, $H$가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다. $G$의 사영 분해가

$0\to P^1\stackrel{\iota }{\to }{P}_0\to G\to 0$

이라면, Tor 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다.

$0\to P_1{\otimes }_{\mathbb{Z}}H\stackrel{\iota {\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathrm{id}}{\to }{P}_0{\otimes }_{\mathbb{Z}}H\to 0$

따라서,

${\mathrm{Tor}}_0^{\mathbb{Z}}(G,H)\cong G{\otimes }_{\mathbb{Z}}H$

이며,

${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(G,H)\cong \ker (\iota {\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathrm{id})$

이다. 특히,

${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},H)=0$

${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(0,H)=H$

${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/(n),H)={\mathrm{Tors}}_n(H)=\{h\in H:nh=0\}$

이다. 보다 일반적으로, Tor 함자는 직합을 보존하므로,

${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\underset{i}{⨁}\mathbb{Z}/(n_i),H)=\underset{i}{⨁}{\mathrm{Tors}}_{n_i}(H)$

가 된다. 또한,

${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q}/\mathbb{Z},H)=\mathrm{Tors}(H)=\{h\in H:\mathrm{\exists }n\in {\mathbb{Z}}^{+}:nh=0\}$

이므로 $H$의 꼬임 부분군이 된다.

${\mathrm{Tor}}_0^{\mathbb{Z}}(G,H)=G\otimes H$

$G\mathrm{\setminus }H$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}/(n)$	$\mathbb{Q}$
$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}/(n)$	$\mathbb{Q}$
$\mathbb{Z}/(m)$	$\mathbb{Z}/(m)$	$\mathbb{Z}/(\gcd \{m,n\})$	0
$\mathbb{Q}$	$\mathbb{Q}$	0	$\mathbb{Q}$

${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(G,H)$

$G\mathrm{\setminus }H$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}/(n)$	$\mathbb{Q}$
$\mathbb{Z}$	0	0	0
$\mathbb{Z}/(m)$	0	$\mathbb{Z}/(\gcd \{m,n\})$	0
$\mathbb{Q}$	0	0	0

리 대수 호몰로지

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 리 대수 호몰로지입니다.

리 대수 호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Tor 함자와 같다.

어원

‘Tor’는 영어: torsion 토전^[*](꼬임 부분군)의 약자다. 이는 Tor 함자가 아벨 군의 꼬임 부분군과 관련있기 때문이다.

같이 보기

• Ext 함자
• 그로텐디크 군

참고 문헌

• Gelfand, Sergei I.; Yuri Ivanovich Manin (1999). 《Homological algebra》 (영어). Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-65378-3. 
• 李起安 (1972). “現代數學과 Homology 代數” (PDF). 《Bulletin of the Korean Mathematical Society》 9 (2): 83–99. ISSN 1015-8634. 

외부 링크

• “Tor” (영어). 《nLab》. 
• “How to make Ext and Tor constructive” (영어). Math Overflow.