쉴로브 정리

군론에서 쉴로브 정리(영어: Sylow theorems) 또는 실로우 정리는 유한군의 특정한 크기의 부분군의 구조에 대한 일련의 정리들이다. 라그랑주 정리의 부분적 역이며, 코시 정리를 일반화한다. 유한군의 이론에서 중요한 역할을 한다.

정의

소수 $p$ 가 주어졌을 때, p-군은 모든 원소의 위수가 $p$ 의 거듭제곱인 군이다. 쉴로브 p-부분군(영어: Sylow p-subgroup)은 극대 p-부분군이다. 즉, 군 $G$ 의 p-부분군 $H$ 가 다음 조건을 만족시키면, 쉴로브 p-부분군이라고 한다.

임의의 p-부분군 $K \subseteq G$ 에 대하여, 만약 $H \subseteq K$ 라면, $K = G$ 또는 $K = H$ 이다.

쉴로브 p-부분군의 집합을 $Syl (p; G)$ 로 표기하자.

유한군 $G$ 와 소수 $p$ 가 주어졌고, 어떤 음이 아닌 정수 $n \in ℤ^{+} \cup {0}$ 와 양의 정수 $m \in ℤ^{+}$ 에 대하여

| G | = p^{n} m

이며 $p$ 와 $m$ 이 서로소라고 하자. 그렇다면, 임의의 $k \in {0, \dots, n}$ 에 대하여, 다음 세 개의 정리가 성립한다.

제1 쉴로브 정리(영어: first Sylow theorem): 크기가 $p^{k}$ 인 $G$ 의 부분군이 존재한다.
제2 쉴로브 정리(영어: second Sylow theorem): 임의의 쉴로브 p-부분군 $H \subseteq G$ 및 p-부분군 $K \subseteq G$ 에 대하여, $K \subseteq g H g^{- 1}$ 인 $g \in G$ 가 존재한다. 특히, $G$ 의 모든 쉴로브 p-부분군은 서로 켤레이며, 모든 쉴로브 p-부분군의 크기는 $p^{n}$ 이다.
제3 쉴로브 정리(영어: third Sylow theorem): 크기가 pk인 G의 부분군의 총수가 n(pk;G)이며 (특히 n(pn;G)=|Syl⁡(p;G)|), H가 G의 임의의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
- $n (p^{k}; G) \equiv 1 (\mod p)$
- $n (p^{n}; G) ∣ m$
- $n (p^{n}; G) = | G : N_{G} (H) |$ . (여기서 $N_{G} (-)$ 는 정규화 부분군이다.)

증명

다음은 $k = n$ 인 경우에 대한 증명들이며, 일부 증명은 임의의 $k$ 에 대한 경우에도 적용 가능하다.

제1 정리

켤레 작용을 통한 증명

크기가 $p^{n}$ 인 $G$ 의 부분군을 찾는 것으로 족하다. 군의 크기 $| G |$ 에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. ${g_{1}, \dots, g_{k}} \subseteq G$ 가 한원소 집합이 아닌 $G$ 의 켤레류들의 대표원이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 켤레류 방정식이 성립한다.

| G | = | Z (G) | + \sum_{i = 1}^{k} \frac{| G |}{| C_{G} (g_{i}) |}

이 경우 각 $i \in {1, \dots, k}$ 에 대하여 $C_{G} (g_{i})$ 는 $G$ 의 진부분군이다.

만약 $p^{n}$ 이 $| C_{G} (g_{i}) |$ 의 약수가 되는 $i \in {1, \dots, k}$ 가 존재한다면, 수학적 귀납법의 가정에 의하여 $C_{G} (g_{i})$ 는 $| H | = p^{n}$ 인 부분군 $H$ 를 가지며, 이는 자명하게 $G$ 의 부분군이다.

이제, 임의의 $i \in {1, \dots, k}$ 에 대하여, $p^{n}$ 이 $| C_{G} (g_{i}) |$ 의 약수가 아니라고 하자. $n = 0$ 인 경우는 자명하다. 만약 $n > 0$ 이라면, $p$ 는 $| Z (G) |$ 의 소인수다. 코시의 정리에 의하여 $Z (G)$ 는 $| K | = p$ 인 부분군 $K$ 를 가지며, 이는 $G$ 의 정규 부분군이다. 수학적 귀납법의 가정에 의하여, 몫군 $G / K$ 는 크기가 $p^{n - 1}$ 인 쉴로브 p-부분군 $H / K$ 를 가지며, 이 경우 $H$ 는 크기가 $p^{n}$ 인 $G$ 의 부분군이다.

빌란트의 증명

헬무트 빌란트(독일어: Helmut Wielandt)의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 $n > 0$ 이라고 하자. 다음과 같은 집합을 생각하자.

𝒮 = {S \subseteq G : | S | = p^{n}}

이 위에 $G$ 는 왼쪽 곱셈을 통해 다음과 같이 작용한다.

G \times 𝒮 \to 𝒮

(g, S) \mapsto g S (g \in G, S \in 𝒮)

이 작용의 궤도들의 대표원을 ${S_{1}, \dots, S_{k}} \subset 𝒮$ 라고 하자. 그렇다면 이 작용에 대한 류의 방정식은 다음과 같다.

| 𝒮 | = \sum_{i = 1}^{k} \frac{| G |}{| G_{S_{i}} |}

또한

| 𝒮 | = (\binom{p^{n} m}{p^{n}}) = m (\binom{p^{n} m - 1}{p^{n} - 1}) = m \prod_{k = 1}^{p^{n} - 1} \frac{p^{n} m - k}{p^{n} - k}

은 $p$ 와 서로소이므로 (이는 각 $k \in {1, \dots, p^{n} - 1}$ 에 대하여 $p^{n} m - k$ 와 $p^{n} - k$ 의 소인수 $p$ 의 중복도가 $k$ 의 소인수 $p$ 의 중복도와 같기 때문이다), 궤도의 크기 $\frac{| G |}{| G_{S_{i}} |}$ 가 $p$ 와 서로소인 $i \in {1, \dots, k}$ 가 존재한다. $S_{i}$ 의 안정자군을 $H = G_{S_{i}}$ 라고 하자. 그렇다면, $H$ 는 $G$ 의 부분군이며, 궤도-안정자군 정리에 의하여 $| H |$ 는 $p^{n}$ 을 약수로 갖는다. 또한 $s \in S$ 에 대하여,

H \to S

h \mapsto h s (h \in H)

는 단사 함수이므로, $| H | = p^{n}$ 이다.

정규화 부분군을 통한 증명

임의의 쉴로브 p-부분군(즉, 극대 p-부분군) $H \subseteq G$ 에 대하여 $| H | = p^{n}$ 임을 보이는 것으로 족하다. $H$ 의 정규화 부분군 $N_{G} (H)$ 를 생각하자. 그렇다면 $H$ 는 $N_{G} (H)$ 의 정규 부분군이므로, 몫군 $N_{G} (H) / H$ 를 취할 수 있다.

우선, $p$ 가 $\frac{| N_{G} (H) |}{| H |}$ 의 소인수가 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여 $p$ 가 $\frac{| N_{G} (H) |}{| H |}$ 의 소인수라고 가정하자. 그렇다면, 코시의 정리에 의하여 $| K / H | = p$ 인 부분군 $K / H \subseteq N_{G} (H) / H$ 가 존재한다. 이 경우 부분군 $H \subseteq K \subseteq N_{G} (H)$ 는 $G$ 의 부분군이며, $| K | = p | H | > | H |$ 를 만족시킨다. 이는 $H$ 가 쉴로브 p-부분군인 데 모순이다.

이제, $p$ 가 $\frac{| G |}{| N_{G} (H) |}$ 의 소인수가 아님을 증명하자. 왼쪽 잉여류의 집합 $G / N_{G} (H)$ 위에서 $H$ 가 다음과 같이 작용한다고 하자.

H \times G / N_{G} (H) \to G / N_{G} (H)

(h, g N_{G} (H)) \mapsto h g N_{G} (H) (h \in H, g \in G)

그렇다면, 이 작용에 대한 류의 방정식을 생각하면 다음과 같은 합동식을 얻는다.

\frac{| G |}{| N_{G} (H) |} \equiv | {g N_{G} (H) \in G / N_{G} (H) : H g N_{G} (H) = g N_{G} (H)} | (\mod p)

따라서, $N_{G} (H)$ 가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이면 된다. 만약 $g \in G$ 가 임의의 $h \in H$ 에 대하여

h g N_{G} (H) = g N_{G} (H)

를 만족시킨다면, $g^{- 1} h g \in N_{G} (H)$ 이며, $H$ 는 p-군이므로 $h$ 의 위수는 $p$ 의 거듭제곱이다. 따라서 $g^{- 1} h g H$ 의 ( $N_{G} (H) / H$ 에서의) 위수 역시 $p$ 의 거듭제곱이며, 또한 이는 $\frac{| N_{G} (H) |}{| H |}$ 의 약수이므로, $g^{- 1} h g H$ 의 위수는 1이다. 즉, $g^{- 1} h g H = H$ 이며, $g^{- 1} h g \in H$ 이다. 즉, $g \in N_{G} (H)$ 가 성립한다.

이 두 가지 사실을 종합하면 $| H | = p^{n}$ 을 얻는다. 이는

| G | = \frac{| N_{G} (H) |}{| H |} \cdot \frac{| G |}{| N_{G} (H) |} \cdot | H |

때문이다.

제2 정리

왼쪽 곱셈 작용을 통한 증명

크기가 $| H | = p^{n}$ 인 쉴로브 p-부분군 $H \subseteq G$ 를 취하자. 임의의 p-부분군 $K \subseteq G$ 에 대하여, $K \subseteq g H g^{- 1}$ 인 $g \in G$ 의 존재를 보이면 된다. 왼쪽 잉여류의 집합 $G / H$ 위에서 $K$ 가 다음과 같이 작용한다고 하자.

K \times G / H \to G / H

(k, g H) \mapsto k g H (k \in K, g \in G)

또한, $G / H$ 의 크기는 $p$ 와 서로소이므로, 궤도의 크기가 $p$ 와 서로소인 원소 $g H \in G / H$ 를 가지며, 이에 대한 안정자군은 $K$ 전체와 같다. 즉, 다음이 성립한다.

K = K_{g H} = G_{g H} \cap K = g G_{H} g^{- 1} \cap K = g H g^{- 1} \cap K \subseteq g H g^{- 1}

이중 잉여류를 통한 증명

크기가 $| H | = p^{n}$ 인 쉴로브 p-부분군 $H \subseteq G$ 를 취하자. 임의의 p-부분군 $K \subseteq G$ 에 대하여, $K \subseteq g H g^{- 1}$ 인 $g \in G$ 의 존재를 보이면 된다. 이중 잉여류들의 집합

K ∖ G / H = {K g H : g \in G}

는 $G$ 의 분할을 이루므로, 다음이 성립한다.

| G | = \sum_{K g H \in K ∖ G / H} | K g H | = \sum_{K g H \in K ∖ G / H} \frac{| K | | H |}{| K \cap g H g^{- 1} |}

즉,

\frac{| G |}{| H |} = \sum_{K g H \in K ∖ G / H} \frac{| K |}{| K \cap g H g^{- 1} |}

이다. 또한 $\frac{| G |}{| H |}$ 는 $p$ 와 서로소이므로, $\frac{| K |}{| K \cap g H g^{- 1} |}$ 가 $p$ 와 서로소가 되는 $g \in G$ 가 존재한다. 즉, 이 $g$ 에 대하여

\frac{| K |}{| K \cap g H g^{- 1} |} = 1

이다. 따라서,

K = K \cap g H g^{- 1} \subseteq g H g^{- 1}

이 성립한다.

제3 정리

켤레 작용을 통한 증명

쉴로브 p-부분군의 집합을 $Syl (p; G)$ 라고 하고, 이 위의 켤레 작용

G \times Syl (p; G) \to Syl (p; G)

(g, H) \mapsto g H g^{- 1} (g \in G, H \in Syl (p; G))

를 생각하자. 그렇다면, 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 추이적 작용이며, 임의의 $H \in Syl (p; G)$ 에 대하여, 그 안정자군은 정규화 부분군 $N_{G} (H)$ 이다. 따라서

n (p^{n}; G) = | Syl (p; G) | = \frac{| G |}{| N_{G} (H) |}

이며, 이는

\frac{| G |}{| H |} = m

의 약수이다.

이제, 임의의 $H \in Syl (p; G)$ 에 제한된 켤레 작용

H \times Syl (p; G) \to Syl (p; G)

(h, K) \mapsto h K h^{- 1} (h \in H, K \in Syl (p; G))

를 생각하자. 이에 대한 류의 방정식에 의하여 합동식

n (p^{n}; G) \equiv | {K \in Syl (p; G) : \forall h \in H : h K h^{- 1} = K} | (\mod p)

가 성립한다. 이제 $H$ 가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 $K \in Syl (p; G)$ 가 임의의 $h \in H$ 에 대하여 $h K h^{- 1} = K$ 를 만족시킨다면, $H \subseteq N_{G} (K)$ 이며, 제2 쉴로브 정리에 의하여 다음을 만족시키는 $g \in N_{G} (K)$ 가 존재한다.

H = g K g^{- 1} = K

따라서, 합동식

n (p^{n}; G) \equiv 1 (\mod p)

가 성립한다.

빌란트의 증명

집합

𝒯 = {S \in 𝒮 : | G_{S} | = p^{n}}

을 생각하자. 그렇다면, $𝒯$ 는 정확히 다음과 같은 집합이다.

𝒯 = ⨆_{H \in Syl (p; G)} H ∖ G = {H g : H \in Syl (p; G), g \in G}

여기서 $H ∖ G$ 는 $H$ 의 오른쪽 잉여류들의 집합이다. (이는 모든 쉴로브 p-부분군이 자신의 오른쪽 잉여류의 안정자군이기 때문이다.) 따라서,

| 𝒯 | = \sum_{H \in Syl (p; G)} \frac{| G |}{| H |} = n (p^{n}; G) m

이다.

임의의 $S \in 𝒮$ 의 안정자군 $G_{S}$ 은 p-부분군이다. 이는 임의의 $s \in S$ 에 대하여, $G_{S} s \subseteq S$ 이므로, $S$ 가 $G_{S}$ 의 일부 오른쪽 잉여류들로 분할되기 때문이다. 특히, $𝒮 ∖ 𝒯$ 의 원소들의 안정자군은 p-부분군이다. 또한, $𝒮 ∖ 𝒯$ 는 $G$ 의 작용에 대하여 닫혀있으므로, $𝒮 ∖ 𝒯$ 속 궤도들의 대표원 ${S_{1}, \dots, S_{k}} \subseteq 𝒮 ∖ 𝒯$ 를 취할 수 있으며, 이 경우

| 𝒮 ∖ 𝒯 | = \sum_{i = 1}^{k} \frac{| G |}{| G_{S_{i}} |} \equiv 0 (\mod p m)

가 성립한다.

또한,

| 𝒮 | = (\binom{p^{n} m}{p^{n}}) = m (\binom{p^{n} m - 1}{p^{n} - 1}) = m \prod_{k = 1}^{p^{n} - 1} \frac{p^{n} m - k}{p^{n} - k} \equiv m (\mod p m)

가 성립한다. 이는 임의의 $k \in {1, \dots, p^{n} - 1}$ 에 대하여, $k$ 의 소인수 $p$ 의 중복도가 $e$ 라고 할 때,

p^{n - e} m - k p^{- e} \equiv p^{n - e} - k p^{- e} \equiv̸ 0 (\mod p)

이기 때문이다.

이들 결론을 종합하면

n (p^{n}; G) m \equiv m (\mod p m)

을 얻으며, $m > 0$ 이므로

n (p^{n}; G) \equiv 1 (\mod p)

가 성립한다.

쉴로브 부분군의 성질

유한군 $G$ 와 소수 $p$ 가 주어졌다고 하자.

연산에 대한 닫힘

만약 $H$ 가 $G$ 의 쉴로브 p-부분군이며, $N$ 이 $G$ 의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다.

$H \cap N$ 은 $N$ 의 쉴로브 p-부분군이다.
$H N / N$ 은 $G / N$ 의 쉴로브 p-부분군이다.

증명:

$K$ 가 $N$ 의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 그렇다면 $K \subseteq g H g^{- 1}$ 인 $g \in G$ 가 존재한다. 따라서

K \subseteq g H g^{- 1} \cap N = g (H \cap N) g^{- 1}

이며,

| H \cap N | \geq | K |

이다. $H \cap N$ 은 $N$ 의 p-부분군이므로,

| H \cap N | = | K |

이며, $H \cap N$ 은 $N$ 의 쉴로브 p-부분군이다.

두 번째 명제는 첫 번째 명제와

| H N / N | = \frac{| H |}{| H \cap N |}

으로부터 유도된다.

충분 조건

만약 $H$ 가 $G$ 의 p-부분군이며, $H = N_{G} (H)$ 라면, $H$ 는 $G$ 의 쉴로브 p-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

증명:

$H$ 가 $H$ 의 켤레 부분군의 집합

𝒮 = {g H g^{- 1} : g \in G}

위에서 다음과 같이 작용한다고 하자.

H \times 𝒮 \to 𝒮

(h, K) \mapsto h K h^{- 1} (h \in H, K \in 𝒮)

그렇다면, 각 궤도의 크기는 $| H |$ 의 약수이며, 특히 $p$ 의 거듭제곱이다.

이제, $H$ 가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 $K \in 𝒮$ 가 임의의 $h \in H$ 에 대하여 $h K h^{- 1} = K$ 를 만족시킨다면, $K = g H g^{- 1}$ 인 $g \in G$ 를 취하면

H \subseteq N_{G} (K) = g N_{G} (H) g^{- 1} = g H g^{- 1} = K

이므로, $K = H$ 이다.

따라서, 류의 방정식과 궤도-안정자군 정리에 의하여

1 \equiv | 𝒮 | = \frac{| G |}{| N_{G} (H) |} = \frac{| G |}{| H |} (\mod p)

이며, 특히 $H$ 는 $G$ 의 쉴로브 p-부분군이다.

교집합

만약 $O (p; G)$ 가 $G$ 의 모든 쉴로브 p-부분군의 교집합이라고 하면, $O (p; G)$ 는 $G$ 의 특성 부분군이자 유일한 극대 정규 p-부분군이다. 만약 $H$ 가 $G$ 의 정규 쉴로브 p-부분군이라면, $n (p^{n}; G) = 1$ 이며, $H = O (p; G)$ 는 $G$ 의 유일한 쉴로브 p-부분군이다.

증명:

우선, $O (p; G)$ 가 $G$ 의 정규 부분군임을 보이자. 이는 쉴로브 p-부분군 $H \subseteq G$ 에 대하여,

O (p; G) = ⋂_{g \in G} g H g^{- 1} = {Core}_{G} (H)

가 $H$ 의 정규핵이기 때문이다.

이제, $O (p; G)$ 가 $G$ 의 모든 정규 p-부분군을 포함함을 보이자. 임의의 정규 p-부분군 $N \subseteq G$ 및 쉴로브 p-부분군 $H \subseteq G$ 에 대하여, $N \subseteq H$ 임을 보이면 된다. $N H$ 이 $G$ 의 부분군이며,

| N H | = \frac{| N | | H |}{| N \cap H |}

이므로 이는 p-부분군이다. 따라서 $N H = H$ 이며, 특히 $N \subseteq H$ 이다.

이에 따라 $O (p; G)$ 는 $G$ 의 유일한 극대 정규 p-부분군이다. 극대 정규 p-부분군은 자기 동형 사상에 대하여 불변인 성질이다. 즉, 임의의 자기 동형 사상 $ϕ \in Aut (G)$ 에 대하여, $ϕ (O (p; G))$ 역시 $G$ 의 극대 정규 p-부분군이며, 따라서 $ϕ (O (p; G)) = O (p; G)$ 이다. 즉, $O (p; G)$ 는 $G$ 의 특성 부분군이다.

만약 $H$ 가 $G$ 의 정규 쉴로브 p-부분군이라면, $N_{G} (H) = G$ 이므로,

n (p^{n}; G) = \frac{| G |}{| N_{G} (H) |} = 1

이며, 따라서 $H = O (p; G)$ 이다.

다음과 같은 조건을 생각하자.

$O (p; G) = H \cap K$ 인 두 쉴로브 p-부분군 $H, K \subseteq G$ 가 존재한다.

이 조건의 일부 충분 조건들은 다음과 같다.^[1]

$p$ 는 홀수 비(非)메르센 소수이다.
$| G |$ 는 홀수이다.
$p = 2$ 이며, $| G |$ 는 페르마 소수나 메르센 소수를 소인수로 갖지 않는다.

프라티니 논증

만약 $N$ 이 $G$ 의 정규 부분군이며, $H$ 가 $N$ 의 쉴로브 p-부분군이라면, $G = N N_{G} (H)$ 이다. 이를 프라티니 논증이라고 한다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다. 만약 $H$ 가 $G$ 의 쉴로브 p-부분군, $K$ 가 $G$ 의 부분군이며, $N_{G} (H) \subseteq K$ 라면, $N_{G} (K) = K$ 이다. 특히, $N_{G} (N_{G} (H)) = N_{G} (H)$ 가 성립한다.

응용

실로우의 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 몇 가지 대표적인 것들은 다음과 같다. $p$ 와 $q$ 가 소수이며, $p < q$ 라고 하자.

$p ∤ q - 1$ 일 경우, 크기가 $p q$ 인 군은 순환군과 동형이다.
$p ∣ q - 1$ 일 경우, 크기가 $p q$ 이며, 아벨 군이 아닌 군들은 모두 서로 동형이다.
크기가 $p^{m} q^{n}$ ( $m, n \in {1, 2}$ )인 군은 단순군이 아니다. 이는 번사이드 정리의 특수한 경우다.

역사

노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.

같이 보기

쉴로브 기저

각주

↑ Mann, Avionam (1975년 12월). “The Intersection of Sylow Subgroups” (영어). 《Proceedings of the American Mathematical Society》 53 (2): 262-264. ISSN 0002-9939. JSTOR 2039991.

외부 링크

“Sylow theorems” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Sylow theorems” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

[Mann-1] Mann, Avionam (1975년 12월). “The Intersection of Sylow Subgroups” (영어). 《Proceedings of the American Mathematical Society》 53 (2): 262-264. ISSN 0002-9939. JSTOR 2039991.

[1]