슈어 분해

선형대수학에서 슈어 분해(-分解, 영어: Schur decomposition)는 임의의 복소수 정사각 행렬을 이와 유니터리 닮음인 상삼각 행렬로 나타내는 행렬 분해이다.^[1]^[2]^[3]

정의

슈어 분해

임의의 복소수 $n \times n$ 행렬 $M$ 은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 $M$ 의 (복소수) 슈어 분해((複素數)-分解, 영어: (complex) Schur decomposition)라고 한다 ( $(-)^{†}$ 는 켤레 전치).^[2]^{:351, §7.1.3, Theorem 7.1.3}^[3]^{:316, §8.5, Corollary}

M = Q T Q^{†}

여기서

$Q$ 는 $n \times n$ 유니터리 행렬이다.
$T$ 는 복소수 $n \times n$ 상삼각 행렬이다.

이 경우, $T$ 의 대각 성분들은 $M$ 의 고윳값의 중복 집합을 이룬다. 만약 $M$ 이 정규 행렬일 경우, $T$ 는 대각 행렬이 된다 (이는 상삼각 정규 행렬이 대각 행렬과 동치이기 때문이다).

실수 슈어 분해

임의의 실수 $n \times n$ 행렬 $M$ 은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 $M$ 의 실수 슈어 분해(實數-分解, 영어: real Schur decomposition)라고 한다 ( $(-)^{⊤}$ 은 전치 행렬).^[2]^{:377, §7.4.1, Theorem 7.4.1}

M = Q T Q^{⊤}

여기서

$Q$ 는 실수 $n \times n$ 직교 행렬이다.
$T$ 는 실수 $n \times n$ 블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은 $1 \times 1$ 행렬이거나, 한 쌍의 서로 다른 켤레 복소수를 고윳값으로 갖는 $2 \times 2$ 행렬이다.

이 경우, $M$ 의 고윳값은 $T$ 의 대각 블록 성분의 고윳값이며, 실수 고윳값은 $T$ 의 $1 \times 1$ 대각 성분이다. 만약 $M$ 의 모든 고윳값이 실수일 경우, $T$ 는 상삼각 행렬이 된다.^[1]^:656 만약 $M$ 이 대칭 행렬일 경우, $T$ 는 대각 행렬이 된다.

일반화 슈어 분해

임의의 두 복소수 $n \times n$ 행렬 $M$ , $N$ 은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 $(M, N)$ 의 (복소수) 일반화 슈어 분해((複素數)一般化-分解, 영어: (complex) generalized Schur decomposition)라고 한다.^[2]^{:406, §7.7.2, Theorem 7.7.1}

M = Q S Z^{†}

N = Q T Z^{†}

여기서

$Q$ 와 $Z$ 는 $n \times n$ 유니터리 행렬이다.
$S$ 와 $T$ 는 복소수 $n \times n$ 상삼각 행렬이다.

이 경우, $(M, N)$ 의 일반화 고윳값의 집합은 다음과 같다.

σ (M, N) = σ (S, T) = {\begin{matrix} {S_{i i} / T_{i i} : T_{i i} \neq 0} & \exists i \in {1, \dots, n} : S_{i i} = T_{i i} = 0 \\ ℂ & \exists i \in {1, \dots, n} : S_{i i} = T_{i i} = 0 \end{matrix}

실수 일반화 슈어 분해

임의의 두 복소수 $n \times n$ 행렬 $M$ , $N$ 은 동시에 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 $(M, N)$ 의 실수 일반화 슈어 분해(實數一般化-分解, 영어: real generalized Schur decomposition)라고 한다.^[2]^{:407, §7.7.2, Theorem 7.7.2}

M = Q S Z^{⊤}

N = Q T Z^{⊤}

여기서

$Q$ 와 $Z$ 는 실수 $n \times n$ 직교 행렬이다.
$S$ 는 실수 $n \times n$ 블록 상삼각 행렬이며, 각 대각 블록 성분은 $1 \times 1$ 또는 $2 \times 2$ 행렬이다.
$T$ 는 실수 $n \times n$ 상삼각 행렬이다.

역사

유대계 독일인 수학자 이사이 슈어의 이름이 붙었다.

각주

↑ ^가 ^나 Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix computations》 4판 (영어). Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449. MR 3024913. Zbl 1268.65037.
↑ ^가 ^나 Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). 《Linear algebra》 2판 (영어). Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. MR 0276251. Zbl 0212.36601. IA LinearAlgebraHoffmanAndKunze.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Schur decomposition” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

[Anton-1] 가 ^나 Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004.

[Golub-2] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix computations》 4판 (영어). Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449. MR 3024913. Zbl 1268.65037.

[HoffmanKunze-3] 가 ^나 Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). 《Linear algebra》 2판 (영어). Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. MR 0276251. Zbl 0212.36601. IA LinearAlgebraHoffmanAndKunze.

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