에르되시-보어와인 상수

에르되시-보와인 상수(Erdős–Borwein constant)는 이를 처음 만든 수학자 에르되시 팔과 피터 보와인의 이름을 따서 지어졌다.

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n-1}\approx 1.606695152415291763\dots$

이것은 메르센 수의 역 수열의 합을 취한것과 같다.

지수 $n$에 대한 메르센 수 $M_n=2^n-1$

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n-1}$

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}$

$=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{mn}}$

$=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n(2^n-1)}$

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_0(n)}{2^n}({\sigma }_0(n)=d(n),\sum _{d\mid n}{d}^a={\sigma }_a(n))$은 약수 함수

$=1-\frac{{\psi }_{\frac{1}{2}}(1)}{ln}({\psi }_q^{(n)}(z)=\frac{{\partial }^n{\psi }_q(z)}{\partial z^n})$는 큐-폴리감마 함수

$=1.606695152415291763\cdots$

1948년, 에르되시는 에르되시-보와인 상수 E가 무리수임을 보였다. 이후에 보와인이 이를 다르게 증명하여 제시하였다.

같이 보기

• 수학 상수
• 감마 함수
• 큐-아날로그