연결 공간

섬네일을 만드는 중 오류 발생:

A

는 유클리드 평면의 연결 부분 공간이며,

B

는 비연결 부분 공간이다.

일반위상수학에서 연결 공간(連結空間, 영어: connected space)은 공집합이 아닌 두 열린집합으로 쪼갤 수 없는 위상 공간이다.

정의

위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 연결 공간이라고 한다.

$X$ 의 두 열린집합 $U, V \subseteq X$ 에 대하여, $U \cup V = X$ 이며 $U \cap V = \emptyset$ 이라면, $U$ 와 $V$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다.
$X$ 의 두 닫힌집합 $E, F \subseteq X$ 에 대하여, $E \cup F = X$ 이며 $E \cap F = \emptyset$ 이라면, $E$ 와 $F$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다. (이는 열린집합의 여집합이 닫힌집합과 일치하기 때문이다.)
만약 $X = X_{1} \cup X_{2}$ 이며 $X_{1} \cap cl (X_{2}) = cl (X_{1}) \cap X_{2} = \emptyset$ 이라면, $X_{1}$ 과 $X_{2}$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다.
$X$ 의 열린닫힌집합(=경계가 공집합인 부분 집합)은 정확히 두 개가 있다. (이는 $X$ 와 $\emptyset$ 이다.)
공집합이 아니며, 모든 연속 함수 $X \to {0, 1}$ 은 상수 함수이다. 여기서 ${0, 1}$ 은 두 개의 점을 갖는 이산 공간이다.

연결 공간이 아닌 공간을 비연결 공간(非連結空間, 영어: disconnected space)이라고 한다.

연결 성분

임의의 위상 공간 $X$ 에 대하여, 그 연결 부분 공간들의 집합은 포함 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이룬다. 또한, 주어진 점 $x_{0} \in X$ 을 포함하는 모든 연결 부분 공간들의 부분 순서 집합은 최대 원소를 가지며, 이를 $x_{0}$ 의 연결 성분(連結成分, 영어: connected component)이라 한다. 각 연결 성분들은 서로소이며, $X$ 는 그 연결 성분들의 서로소 합집합이다.

연결 성분은 항상 닫힌집합이지만, 열린집합일 필요는 없다. 예를 들어 실수에 하극한 위상이 주어졌을때, 연결성분은 한원소 집합이다. 이는 닫힌집합일 뿐이다

경로 연결 공간

섬네일을 만드는 중 오류 발생:

위 유클리드 평면의 부분 공간에 포함된 임의의 두 점을 경로로 연결할 수 있으므로 이는 경로 연결 공간이다.

위상 공간 $X$ 에 대하여, 임의의 두 점 $x, y \in X$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 연속 함수 $f : [0, 1] \to X$ 가 존재할 경우, $X$ 를 경로 연결 공간(經路連結空間, 영어: path-connected space)이라 한다.

$f (0) = x$ 이며 $f (1) = y$ 이다.

이러한 조건을 만족시키는 함수를 $x$ 와 $y$ 사이의 경로라고 한다.

두 점 사이를 잇는 경로가 존재하는지 여부는 $X$ 위의 동치 관계를 정의한다. 이 동치 관계의 동치류는 부분 공간 위상 아래 경로 연결 공간을 이루며, 이를 경로 연결 성분(經路連結成分, 영어: path-connected component)이라고 한다. 경로 연결 성분은 일반적으로 연결 성분보다 더 작다.

호 연결 공간

위상 공간 $X$ 에 대하여, 임의의 서로 다른 두 점 $x, y \in X$ 에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 연속 함수 $f : [0, 1] \to X$ 가 존재할 경우, $X$ 를 호 연결 공간(弧連結空間, 영어: arc-connected space)이라 한다.

$f (0) = x$ 이며 $f (1) = y$ 이다.
$f$ 는 매장이다. 즉, $f$ 는 $[0, 1]$ 과 $f ([0, 1]) \subset X$ 사이의 위상 동형이다.

이러한 조건을 만족시키는 함수를 $x$ 와 $y$ 사이의 호(弧, 영어: arc)라고 한다.

성질

연결성 · 경로 연결성 · 호 연결성이 동치일 조건

모든 경로 연결 공간은 연결 공간이며, 모든 호 연결 공간은 경로 연결 공간이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

호 연결 공간 ⊊ 경로 연결 공간 ⊊ 연결 공간 ⊊ 위상 공간

하우스도르프 공간 $X$ 에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

$X$ 는 경로 연결 공간이다.
$X$ 는 호 연결 공간이다.

그러나 호 연결 공간이 아닌 경로 연결 T₁ 공간이 존재한다.

유한 개의 점을 갖는 위상 공간 $X$ 의 경우 다음이 서로 동치이다.

$X$ 는 연결 공간이다.
$X$ 는 경로 연결 공간이다.

(두 개 이상의 점을 갖는 유한 위상 공간은 절대로 호 연결 공간일 수 없다.)

국소 경로 연결 공간 $X$ 의 경우, 다음이 서로 동치이다.

$X$ 는 연결 공간이다.
$X$ 는 경로 연결 공간이다.

국소 콤팩트 국소 연결 거리화 가능 공간 $X$ 의 경우, 다음이 서로 동치이다.^[1]^:327

$X$ 는 연결 공간이다.
$X$ 는 경로 연결 공간이다.
$X$ 는 호 연결 공간이다.

특히, 유클리드 공간의 열린집합은 국소 콤팩트 국소 연결 거리화 가능 공간이므로, 이 경우 세 조건이 일치한다.

연속 함수에 대한 상

두 위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 연속 함수 $f : X \to Y$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

만약 $X$ 가 연결 공간이라면 $f$ 의 상 $f (X)$ 또한 연결 공간이다.
만약 $X$ 가 경로 연결 공간이라면 $f$ 의 상 $f (X)$ 또한 경로 연결 공간이다.

거리 공간

연결 거리화 가능 공간 $X$ 의 크기는 1 이하이거나 $2^{ℵ_{0}}$ 이상이다.

| X | = 0 \lor | X | = 1 \lor | X | \geq 2^{ℵ_{0}}

증명:

연결 거리 공간 $(X, d)$ 가 서로 다른 두 점 $x, y \in X$ 를 갖는다고 하자. 함수 $f : z \mapsto d (x, z)$ 는 연속 함수 $X \to [0, \infty)$ 이며, 따라서 그 상 $f (X)$ 은 구간이다. $0, d (x, y) \in f (X)$ 이므로 $(0, d (x, y)) \subseteq f (X)$ 이다. 따라서,

2^{ℵ_{0}} = | f (X) | \leq | X |

이다.

위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $Y \subseteq X$ 에 대하여, 다음 세 조건을 생각하자.

$Y$ 는 연결 공간이다.
$X$ 의 두 열린집합 $U, V \subseteq X$ 에 대하여, $Y \subseteq U \cup V$ 이며 $U \cap V \cap Y = \emptyset$ 이라면, $U \cap Y$ 와 $V \cap Y$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다.
$X$ 의 두 열린집합 $U, V \subseteq X$ 에 대하여, $Y \subseteq U \cup V$ 이며 $U \cap V = \emptyset$ 이라면, $U \cap Y$ 와 $V \cap Y$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다.

연결 공간과 부분공간 위상의 정의에 따라, 첫 번째 조건과 두 번째 조건은 서로 동치이다. 이 조건은 자명하게 세 번째 조건을 함의하지만, 세 번째 조건을 만족시키는 부분 집합이 연결 공간일 필요는 없다. $X$ 가 거리화 가능 공간인 경우, 위 세 조건이 서로 동치이다.^[2]^{:72, Exercise 3.2.6}

증명:

임의의 연결 집합은 자명하게 세 번째 조건을 만족시킨다. 이제, 거리 공간 $(X, d)$ 의 비연결 집합 $Y \subseteq X$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

Y \subseteq E \cup F

E \cap F \cap Y = \emptyset

E \cap Y \neq \emptyset

F \cap Y \neq \emptyset

인 두 닫힌집합 $E, F \subseteq X$ 이 존재한다. 이제

U = {x \in X : d (x, E \cap Y) < d (x, F \cap Y)}

V = {x \in X : d (x, E \cap Y) > d (x, F \cap Y)}

라고 하자. 그렇다면, $U, V \subseteq X$ 는 열린집합이며, $U \cap V = \emptyset$ 이다. 만약 $x \in E \cap Y$ , $y \in F \cap Y$ 라면,

d (x, E \cap Y) = 0 < d (x, F) \leq d (x, F \cap Y)

d (y, F \cap Y) = 0 < d (y, E) \leq d (y, E \cap Y)

이다. 즉, $x \in U$ , $y \in V$ 이다. 따라서,

\emptyset \neq E \cap Y \subseteq U \cap Y

\emptyset \neq F \cap Y \subseteq V \cap Y

Y = (E \cap Y) \cup (F \cap Y) \subseteq U \cup V

이다.

예

연결 공간의 예로는 다음을 들 수 있다.

공집합은 자명하게 연결 공간이며, 또한 경로 연결 공간이자 호 연결 공간이다.
한원소 공간 ${∙}$ 역시 자명하게 (경로/호) 연결 공간이다.
실직선 $ℝ$ 은 연결 공간이다.
연결 위상체에 대한 모든 위상 벡터 공간은 연결 공간이다. 특히, 모든 유클리드 공간은 연결 공간이다.
이산 값매김환의 스펙트럼은 두 개의 점을 갖는 위상 공간 ${0, 1}$ 이며, 그 기저는 ${{1}, {0, 1}}$ 이다. 이는 연결 공간이다.

비연결 공간의 예로는 다음을 들 수 있다.

유리수의 집합 $ℚ$ , 무리수의 집합 $ℝ ∖ ℚ$ , 및 (순서 위상을 부여한) 초실수의 집합 $^{*} ℝ$ 는 연결 공간이 아니며, 완전 분리 공간이다.
크기가 2 이상인 이산 공간은 연결 공간이 아니며, 완전 분리 공간이다.
일반선형군 $GL (n; ℝ)$ 은 두 개의 연결 성분을 가진다. 이들은 각각 행렬식이 양수·음수인 가역 행렬들로 구성된다.

모든 크기의 비이산 공간은 경로 연결 공간이지만, 크기가 2 이상인 비이산 공간은 호 연결 공간이 아니다.

경로 연결 공간이 아닌 연결 공간

긴 직선 L*나 위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만 경로 연결 공간이 아니다.

호 연결 공간이 아닌 경로 연결 공간

크기가 $2 \leq | X | < 2^{ℵ_{0}}$ 인 경로 연결 공간 $X$ 는 호 연결 공간일 수 없다. 적어도 두 개의 점을 가지려면, 두 점 사이의 호가 존재하여야 하는데, 호는 $2^{ℵ_{0}}$ 개의 점을 포함하기 때문이다. 예를 들어, 가산 집합에 비이산 위상을 주면, 이는 경로 연결 공간이지만 호 연결 공간이 아니다.

경로 연결 공간이지만 호 연결 공간이 아닌 T₁ 공간의 예로, 전순서 집합 $[0, \infty)$ 에 원소 $0^{'}$ 을 다음과 같이 추가하여 부분 순서 집합으로 만들자.

0^{'} < a \forall a \in (0, \infty)

0^{'} < 0, 0^{'} > 0

여기에 순서 위상을 준 공간은 T₁ 공간이며 경로 연결 공간이지만, 하우스도르프 공간이 아니며 호 연결 공간도 아니다. 이는 $0$ 과 $0^{'}$ 사이에 경로가 존재하지만, 호는 존재하지 않기 때문이다.

환의 스펙트럼

(단위원을 갖는) 가환환 $R$ 에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

$R$ 의 스펙트럼 $Spec (R)$ 는 연결 공간이다.
$R$ 의 모든 유한 생성 사영 가군은 상수 계수(영어: rank)를 갖는다.
모든 $r \in R$ 에 대하여, 만약 $r^{2} = r$ 라면, $r = 0$ 이거나 $r = 1$ 이다.
만약 $R ≅ R_{1} \times R_{2}$ 인 가환환 $R_{1}$ , $R_{2}$ 가 존재한다면, $R_{1}$ 또는 $R_{2}$ 는 자명환이다.

구간

실직선 $ℝ$ 의 부분 집합 $S \subset ℝ$ 의 경우 다음이 서로 동치이다.

$S$ 는 연결 공간이다.
$S$ 는 경로 연결 공간이다.
$S$ 는 호 연결 공간이다.
$S$ 는 구간이다. 즉, $a \leq b$ 이며 $S \in {[a, b], (a, b], [a, b), (a, b)}$ 인 $a, b \in [- \infty, \infty]$ 가 존재한다. (공집합은 $a > b$ 인 구간으로 간주한다.)

각주

↑ Cullen, Helen Frances (1968). 《Introduction to general topology》 (영어). Heath and Company. Zbl 0164.23301.
↑ Brown, Ronald (2006). 《Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid》 3차 개정 증보판 (영어). ISBN 1-4196-2722-8. Zbl 1093.55001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

Munkres, James R. (2000). 《Topology》 2판 (영어). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.

외부 링크

“Connected space” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Path-connected space” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Locally path-connected space” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Connected space” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Connected set” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Pathwise-connected” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Locally pathwise-connected” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Arcwise-connected” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Connected space” (영어). 《nLab》.

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[1] Cullen, Helen Frances (1968). 《Introduction to general topology》 (영어). Heath and Company. Zbl 0164.23301.

[Brown-2] Brown, Ronald (2006). 《Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid》 3차 개정 증보판 (영어). ISBN 1-4196-2722-8. Zbl 1093.55001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

[1]

[2]

정의