전사 사상

범주론에서 전사 사상(全射寫像, 영어: epimorphism)은 두 사상의 등식에서 오른쪽에서 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 사상이다. 단사 사상의 반대 개념이다.

정의

범주 $𝒞$ 의 사상 $f : X \to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, 전사 사상이라고 한다.

임의의 대상 $Z$ 및 사상 $g_{1}, g_{2} : Y \to Z$ 에 대하여, 만약 $g_{1} \circ f = g_{2} \circ f$ 라면 $g_{1} = g_{2}$ 이다.
$X \overset{f}{\to} Y \overset{g_{1}}{\underset{g_{2}}{⇉}} Z$

정규 전사 사상

영 사상을 갖는 범주 $𝒞$ 에서, 어떤 사상 $f : X \to Y$ 의 여핵 $coker f : K \to X$ 으로 나타낼 수 있는 사상을 정규 전사 사상(영어: normal epimorphism)이라고 한다. 정규 전사 사상은 (쌍대극한이므로) 항상 전사 사상이다.

강한 전사 사상

범주 $𝒞$ 에서, 강한 전사 사상(強-全射寫像, 영어: strong epimorphism)은 모든 단사 사상에 대하여 왼쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 전사 사상이다. 즉, 전사 사상 $π : X \to Y$ 가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 전사 사상이라고 한다.

임의의 가환 사각형

\begin{matrix} X & \overset{π}{\to} & Y \\ ↓ & ↓ \\ A & \to_{i}^{} & B \end{matrix}

에서

i

가 단사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상

Y \to A

가 존재한다.

\begin{matrix} X & \overset{π}{\to} & Y \\ ↓ & \exists! ↙ & ↓ \\ A & \to_{i}^{} & B \end{matrix}

극단 전사 사상

범주 $𝒞$ 의 전사 사상 $f : X \to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, 극단 전사 사상(極端全射寫像, 영어: extremal epimorphism)이라고 한다.

임의의 대상 $Z$ 및 사상 $g : X \to Z$ 및 단사 사상 $h : Z \to Y$ 에 대하여, 만약 $f = h \circ g$ 라면 $h$ 는 동형 사상이다.
$\begin{matrix} X \\ g ↓ & ↘ f \\ Z & \to_{h}^{} & Y \end{matrix}$

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상

동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상

동형 사상 = 단사 사상 ∩ 극단 전사 사상 = 전사 사상 ∩ 극단 단사 사상

분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상 $f : X \to Y$ 및 그 오른쪽 역사상 $s : Y \to X$ 이 주어졌을 때 $f = eq {s \circ f, {id}_{X}}$ 이기 때문이다.

요네다 매장

요네다 매장을 통하여, 전사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주 $𝒞$ 속의 사상 $f : X \to Y$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$f$ 는 전사 사상이다.
임의의 대상 $Z$ 에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 $(\circ f) : {hom}_{𝒞} (Y, Z) \to {hom}_{𝒞} (X, Z)$ 는 단사 함수이다.
쌍대 준층 토포스의 반대 범주 $PSh (𝒞^{op})^{op}$ 로 가는 요네다 매장 함자 ${hom}_{𝒞} : 𝒞 \to PSh (𝒞^{op})^{op}$ 아래서, $f$ 의 상 $(f \circ) : {hom}_{𝒞} (-, X) \to {hom}_{𝒞} (-, Y)$ 은 쌍대 준층 토포스 $PSh (𝒞^{op})$ 에서의 단사 사상 (즉, 쌍대 준층 토포스의 반대 범주 $PSh (𝒞^{op})^{op}$ 에서의 전사 사상)이다.

반대 범주

범주 $𝒞$ 의 전사 사상은 그 반대 범주 $𝒞^{op}$ 의 단사 사상이다.

예

구체적 범주에서, 함수로서 전사 함수인 사상은 항상 전사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 모든 전사 사상이 전사 함수인 구체적 범주로는 다음과 같은 예를 들 수 있다.

집합과 함수의 범주 $Set$ 에서의 전사 사상은 전사 함수이다.
군과 군 준동형의 범주 $Grp$ 에서의 전사 사상은 전사 군 준동형이다.
체 $K$ 에 대하여, $K$ 위의 벡터 공간과 선형 변환들의 범주 $K -Vect$ 에서의 전사 사상은 전사 선형 변환이다.
위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 전사 사상은 전사 연속 함수이다.

전사 함수가 아닌 전사 사상이 존재하는 구체적 범주로는 다음과 같은 예를 들 수 있다.

모노이드의 범주 $Mon$ 에서, 자연수의 덧셈 모노이드에서 정수의 덧셈 모노이드로 가는 포함 함수 $ℕ \to ℤ$ 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다. 보다 일반적으로, 모노이드 $M$ 의 군화 (망각 함자의 왼쪽 수반 함자) $G$ 가 주어졌을 때, 포함 모노이드 준동형 $M \to G$ 는 항상 전사 사상이자 단사 사상이자 단사 함수이지만, ( $M$ 이 군이 아니라면) 전사 함수가 아니다.
환의 범주 $Ring$ 에서, 포함 함수 $ℤ \to ℚ$ 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.
하우스도르프 공간의 범주 $Haus$ 에서, 전사 사상은 상이 조밀 집합인 연속 함수이다. 예를 들어, 포함 함수 $ℚ \to ℝ$ 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.

집합의 범주

집합과 함수의 토포스 $Set$ 에서는 다음이 성립한다.

전사 사상은 전사 함수이다.
전사 사상 · 정칙 전사 사상 · 유효 전사 사상의 개념이 일치한다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

군의 범주

군과 군 준동형의 범주 $Grp$ 에서는 다음이 성립한다.

전사 사상은 전사 함수인 군 준동형이다.
모든 전사 사상은 정규 전사 사상이다.

위상 공간의 범주

위상 공간과 연속 함수의 범주 $Top$ 에서는 다음이 성립한다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 전사 사상을 정의할 수 없다.)

같이 보기

단사 사상

참고 문헌

Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.

외부 링크

“Epimorphism” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Normal epimorphism” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Epimorphism” (영어). 《nLab》.
“Strict epimorphism” (영어). 《nLab》.
“Strong epimorphism” (영어). 《nLab》.
“Extremal epimorphism” (영어). 《nLab》.
Yuan, Qiaochu (2012년 9월 29일). “Monomorphisms and epimorphisms” (영어). 《Annoying Precision》. 2015년 9월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 4일에 확인함.
Trimble, Todd. “Epimorphisms in the category of groups” (영어).
Tagne, Christian Nguembou (2010년 1월 30일). “Epimorphisms in the category of groups” (영어).
“Inclusion of natural numbers in integers is epimorphism” (영어). 《ProofWiki》.