정칙 벡터 다발

미분기하학에서 정칙 벡터 다발(正則vector다발, 영어: holomorphic vector bundle) 또는 해석적 벡터 다발(解析的vector다발, 영어: analytic vector bundle)은 복소다양체 위에 정의된, 사영 사상이 정칙 함수인 복소수 벡터 다발이다.^[1]

정의

$M$ 이 복소다양체이고, 그 위에 $π : E \to M$ 이 복소수 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 $E$ 또한 복소다양체를 이룬다. 만약 사영 $π$ 가 복소다양체 사이의 정칙 함수라면, $E$ 를 정칙 벡터 다발이라고 한다.

마찬가지로, $π$ 의 단면 $s : M \to E$ 가 정칙 함수라면, 이를 $π$ 의 정칙 단면(正則斷面, 영어: holomorphic section)이라고 한다. 정칙 벡터 다발 $E$ 의 정칙 단면들의 모임은 국소 자유 가군층을 이루며, $𝒪 (E)$ 라고 쓴다. 만약 $E$ 가 자명한 복소수 선다발 $\underline{ℂ}$ 라면, $𝒪 (\underline{ℂ})$ 는 $M$ 의 구조층(영어: structure sheaf) $𝒪_{M}$ 과 같다.

연산

정칙 벡터 다발 $π : E ↠ M$ 이 주어졌을 때, 정칙 벡터 다발

π^{*} : E^{*} ↠ M

을 정의할 수 있다. 그 올

E_{x}^{*} = {hom}_{ℂ} (E_{x}, ℂ)

은 $E_{x}$ 의 복소수 쌍대 공간이다.

반면, 정칙 벡터 다발의 켤레 벡터 다발은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.

성질

정칙 벡터 다발 $E \to M$ 의 코호몰로지 $H^{∙} (-, 𝒪 (E))$ 는 그 해석적 단면들의 층 $𝒪 (E)$ 의 층 코호몰로지다. 이 경우, 낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다.

$H^{0} (M, 𝒪 (E))$ 는 $E$ 의 해석적 단면들의 덧셈에 대한 아벨 군이다.
$H^{1} (M, 𝒪 (E))$ 는 자명 선다발의 $E$ 에 대한 확대들의 아벨 군이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 이루는 해석적 벡터 다발 $F$ 들로 구성된다.
$0 \to E \to F \to M \times ℂ \to 0$

정칙 접속

복소다양체 $M$ 위의 복소수 매끄러운 벡터 다발 $E ↠ M$ 위의 벡터 다발 접속 $\nabla$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 매끄러운 함수 위에 다음과 같이 작용한다.

\nabla : Γ^{\infty} (T E) \to Γ^{\infty} (T^{*} M \otimes_{ℝ} E) = Ω^{1} (E)

그런데 복소다양체에서 쌍대접공간 $T_{x}^{*} M$ 의 복소화 $T_{x}^{*} M \otimes_{ℝ} ℂ$ 는 다음과 같이 분해된다.

T_{x}^{*} M \otimes_{ℝ} ℂ = T_{x}^{(0, 1) *} M \oplus T_{x}^{(1, 0) *} M

즉,

T^{*} M \otimes_{ℝ} E = (T^{*} M \otimes_{ℝ} ℂ) \otimes_{ℂ} E = (T^{(0, 1) *} M \otimes_{ℂ} E) \oplus (T^{(1, 0) *} M \otimes_{ℂ} E)

와 같은 분해가 존재한다. 이에 따라, 벡터 다발 접속 $\nabla$ 역시 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.

\nabla^{(1, 0)} : Ω^{0} (M; E) \to Ω^{1, 0} (M; E)

\nabla^{(0, 1)} : Ω^{0} (M; E) \to Ω^{0, 1} (M; E)

이제, $E$ 가 정칙 벡터 다발이라고 추가로 가정하자. 그렇다면, 그 단면에는

\bar{\partial} : Ω^{0} (M; E) \to Ω^{0, 1} (M; E)

가 잘 정의된다. (이는 $E$ 의 국소 자명화에서 모든 전이 사상이 정칙 함수이기 때문이다. 반면, $\partial : Ω^{0} (M; E) \to Ω^{1, 0} (M; E)$ 는 잘 정의되지 않는다. 물론, 만약 $E$ 가 “반정칙 벡터 다발”일 경우, 반대로 $\partial$ 이 정의되며 $\bar{\partial}$ 이 정의되지 않는다.) 만약

\nabla^{(0, 1)} = \bar{\partial}

이라면, 접속 $\nabla$ 를 정칙 접속(영어: holomorphic connection)이라고 한다.

에르미트 계량

에르미트 계량 $⟨ -, - ⟩$ 를 갖춘 복소수 벡터 다발 $E ↠ M$ 의 경우, 에르미트 접속의 개념이 존재한다. 만약 $E$ 가 추가로 정칙 벡터 다발일 경우, 정칙 접속이자 에르미트 접속인 벡터 다발 접속의 개념을 생각할 수 있다. 이러한 접속은 항상 유일하게 존재하며, 이를 천 접속([陳]接續, 영어: Chern connection)이라고 한다. 천 접속의 곡률은 (1,1)차 복소수 미분 형식이다.

만약 $E$ 가 켈러 다양체의 정칙 접다발인 경우, 천 접속은 리만 계량으로 유도되는 레비치비타 접속과 같다.

정칙 선다발 $π : L \to M$ 의 국소 자명화

ϕ_{i} : π^{- 1} (U_{i}) \to U_{i} \times ℂ

가 주어졌다고 하고, 그 전이 함수가

g_{i j} : U_{i} \cap U_{j} \to ℂ^{\times}

라고 하자. 이 경우, 에르미트 계량은 항상

⟨ s, t ⟩ (z) = \exp (2 a_{i} (z)) \bar{s} t \forall s, t \in Γ (U_{i}, L)

a_{i} : U_{i} \to ℝ

이게 놓을 수 있으며, 에르미트 계량의 조건은

a_{j} (x) = a_{i} (x) + \ln | g_{i j} | \forall x \in U_{i} \cap U_{j}

인 것이다. 이 경우, 천 접속의 곡률은

F ↾ U_{i} = - \frac{1}{2} i \partial \bar{\partial} a_{i}

로 주어진다.

예

정칙 접다발

복소다양체 $M$ 의 접다발 $T M$ 을 생각하자. 그 위에 복소구조 $J : T M \to T M$ 가 작용하며, 이는 정의에 따라 $J^{2} = - 1$ 을 만족시킨다. 즉,

J : T M \otimes ℂ \to T M \otimes ℂ

의 고윳값은 $\pm i$ 이며, 이에 의하여

T M \otimes ℂ = 𝕋^{+} M \oplus T^{-} M

으로 분해된다. 이 경우, $T^{+} M$ 은 정칙 접다발(영어: holomorphic tangent bundle)이라고 하며, 정칙 벡터 다발이다. (반면, $T^{-} M$ 은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.)

대수적 벡터 다발

비특이 복소수 대수다양체 $X$ 위의 대수적 벡터 다발 $E ↠ X$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응되는 복소다양체 $X^{an}$ 및 복소다양체 사이의 정칙 함수 $E^{an} ↠ X^{an}$ 를 취할 수 있다. 이 경우, 이는 정칙 벡터 다발을 이룬다.

반대로, 만약 $X$ 가 추가로 사영 대수다양체라면, $X^{an}$ 위의 모든 정칙 벡터 다발은 $X$ 위의 대수적 벡터 다발에서 유래한다. 이는 가가 정리의 한 경우이다.

자명한 다발

복소수 벡터 공간 $ℂ^{n}$ 위의 자명한 복소수 벡터 다발

ℂ^{m} \times ℂ^{n} ↠ ℂ^{n}

은 (자명하게) 정칙 벡터 다발이다.

역사

에르미트 정칙 벡터 다발의 천 접속은 천싱선이 도입하였다.

같이 보기

각주

↑ 양재현 (1989년 1월 1일). 《벡터 속 이론》. 민음사. ISBN 89-374-3560-8.

외부 링크

“Vector bundle, analytic” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Holomorphic vector bundle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Holomorphic line bundle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Holomorphic vector bundle” (영어). 《nLab》.

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[1] 양재현 (1989년 1월 1일). 《벡터 속 이론》. 민음사. ISBN 89-374-3560-8.

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