정칙 특이점

복소 상미분 방정식 이론에서, 정칙 특이점(正則特異點, 영어: regular singularity)은 선형 상미분 방정식의 해가 유리형 함수를 이루는 특이점이다. 정칙 특이점 근처에서는 프로베니우스 방법을 적용하여 미분 방정식의 해를 구할 수 있다.

정의

복소 변수 $z\in \widehat{ℂ}$를 가지는 미지 함수 $f$에 대한 n차 선형 상미분 방정식

$p_0(z)f(z)+p_1(z)f^{\prime }(z)+\cdots +p_{n-1}(z)f^{(n-1)}(z)+f^{(n)}(z)=0$

을 생각하자. 여기서 $p_i$들은 모두 유리형 함수이다.

만약 $p_i(z)$가 점 $z_0\in \widehat{ℂ}$에서 차수 $n-i$ 이하의 극점만을 갖는다면, $z_0$를 이 상미분 방정식의 정칙 특이점이라고 하며, 그렇지 않을 경우 비정칙 특이점(영어: irregular singular point)이라고 한다.

복소 무한대 $\hat{\mathrm{\infty }}\in \widehat{ℂ}$를 포함하여, 비정칙 특이점을 갖지 않는 복소 선형 상미분 방정식을 푹스 미분 방정식(영어: Fuchsian differential equation)이라고 한다. 푹스 미분 방정식의 경우 프로베니우스 방법을 적용시킬 수 있다.

예

베셀 방정식

$(1-{\alpha }^2/z^2)+z\frac{d}{dz}(z)+\frac{d^2}{d{z}^2}(z)=0$

을 생각하고, $\alpha \ne 0$이라고 하자. 이 방정식은 $z=0$에서 정칙 특이점을 갖는다. 반면,$w=1/z$로 변환하면

$(1/w^4-{\alpha }^2/w^2)+w^{-1}\frac{d}{dw}f(w)+\frac{d^2}{d{w}^2}f(w)=0$

이므로, $z=\hat{\mathrm{\infty }}$에서의 특이점은 비정칙 특이점이다. 따라서 베셀 방정식은 푹스 미분 방정식을 이루지 못한다.

푹스 미분 방정식의 예로는 르장드르 방정식이나 초기하 미분 방정식 등이 있다.

외부 링크

• “Fuchsian equation” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Regular singular point” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Irregular singular point” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Analytic theory of differential equations” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Regular singular point” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Irregular Singularity” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• 이철희. “정칙특이점(regular singular points)”. 《수학노트》.