초다양체

초다양체(超多樣體, 영어: supermanifold)는 초대칭을 고려하여 다양체의 개념을 일반화시킨 것이다. 비가환 다양체의 특정한 종류나, 일반적 비가환 공간보다 훨씬 더 정규적이어서, 미분기하학 등을 할 수 있다.

정의

초공간

음이 아닌 정수 $p, q$ 를 생각하자. ( $p$ 는 보손적 차원의 수, $q$ 는 페르미온적 차원의 수다.) $p | q$ 차원의 초공간은 다음과 같은 데이터로 주어진 환 달린 공간이다.

두 실수 벡터 공간 $X$ , $V$ ( $\dim X = p$ , $\dim V = q$ )
자명한 벡터 다발 $E = X \times ⋀ (V^{*}) ↠ X$
$E$ 의 매끄러운 단면으로 구성되는, $ℤ / 2$ 등급 실수 결합 대수의 층 $Γ^{\infty} (X, E) = 𝒞^{\infty} (X) \otimes ⋀ (V^{*})$

이 층의 단면

f \in 𝒞^{\infty} (X, ⋀ V^{*})

은 다음과 같이 “테일러 급수” 전개를 갖는다.

f = \sum_{I, J} \frac{1}{I!} f_{I, J} x^{I} ξ^{J} + o (1)

I \in ℕ^{\dim V}

J \in {0, 1}^{\dim V}

이에 따라, 이는 “가환 좌표” $(x^{1}, \dots, x^{p})$ 와 “반가환 좌표” $(ξ^{1}, \dots, ξ^{q})$ 에 대한 “함수”로 여겨질 수 있다.

이 환 달린 공간을 $ℝ^{p | q}$ 로 표기하자.

초다양체

음이 아닌 정수 $p, q$ 를 생각하자. ( $p$ 는 보손적 차원의 수, $q$ 는 페르미온적 차원의 수다.) $p | q$ 차원의 초다양체는 다양체이자, 국소적으로 $ℝ^{p | q}$ 와 동형인 환 달린 공간이다.

이는 일반적 매끄러운 다양체의 정의 (국소적으로 $𝒞^{\infty} (ℝ^{p})$ 와 동형인 환 달린 공간)과 유사하다.

초다양체 위의 미분 형식

데카르트 좌표계 $(x^{1}, \dots, x^{p}, θ^{1}, \dots, θ^{q})$ 를 갖는 초공간 $ℝ^{p | q}$ 위의 미분 형식들의 층은 다음과 같은, $ℤ / 2$ 등급 미분 등급 대수의 층이다.

Ω (ℝ^{p | q}) = 𝒞^{\infty} (ℝ^{p}) \otimes_{ℝ} ⋀ {Span}_{ℝ} {d x^{1}, \dots, d x^{p}, θ^{1}, \dots, θ^{q}, d θ^{1}, \dots, d θ^{q}}

\deg x^{i} = \deg d θ = 0

\deg d x^{i} = \deg θ^{i} = 1

임의의 $p | q$ 차원 초다양체 $M$ 의 미분 형식들의 층은 초공간 위의 미분 형식의 층들을 짜깁기하여 얻어진다.

분류

$M$ 이 매끄러운 다양체라고 하고, $E$ 가 $M$ 위의 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 외대수 $⋀^{∙} (E^{*})$ 의 매끄러운 단면들의 층을 갖춘 $M$ 은 초다양체를 이룬다. 이를 $Π E$ 라고 쓴다. $Π$ 는 매끄러운 벡터 다발의 범주에서 초다양체의 범주로 가는 함자이다.

Π : VectBdl \to sMfd

특히, $E = T M$ (접다발)인 경우 $Π T M$ 은 미분 형식들의 층 $Ω (M)$ 이다.

배첼러 정리(Batchelor定理, 영어: Batchelor's theorem)에 따르면, 이 함자는 사실상 전사 함자이다. 즉. 모든 초다양체는 $Π E$ 의 꼴의 초다양체와 동형이다. 그러나 이는 표준적이지 못하며, 또한, 함자 $Π$ 는 (초다양체의 범주에 동치류를 취하더라도) 범주의 동치를 이루지 않는다. 이는 초다양체의 사상이 벡터 다발 사상과 매우 다르기 때문이다. 구체적으로, 두 매끄러운 벡터 다발 $E ↠ M$ , $F ↠ N$ 이 주어졌을 때, 그 사이의 벡터 다발 사상

ϕ : E \to F

은 초다양체의 사상

Π ϕ : Π (E) \to Π (F)

을 유도하는데, 층 단면의 밂

(Π ϕ)_{*} : Γ (𝒪_{Π (E)}) \to Γ (𝒪_{Π (F)})

는 (외대수에서 유도되는) $ℕ$ 값의 차수를 보존하지만, 일반적으로 초다양체의 사상은 $ℤ / 2$ 차수만을 보존한다.

초다양체 사상의 분류

임의의 두 초다양체 $M$ , $N$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

{hom}_{sMfd} (M, N) ≅ {hom}_{{sAlg}_{ℝ}} (Γ (𝒪_{N}), Γ (𝒪_{M}))

여기서

${sAlg}_{ℝ}$ 는 실수 위의, $ℤ / 2$ 등급을 갖는 실수 등급 대수의 범주이다.

즉, 이는 함자

sMfd \to {sAlg}_{ℝ}^{op}

를 정의한다. 또한, 이는 충실충만한 함자이다.

참고 문헌

Rogers, Alice (2007년 4월). 《Supermanifolds: theory and applications》 (영어). Singapore: World Scientific. doi:10.1142/1878. ISBN 978-981-02-1228-5.
Cattaneo, Alberto S.; Florian Schätz (2011년 7월). “Introduction to supergeometry” (영어). 《Reviews in mathematical physics》 23 (6): 669. arXiv:1011.3401. Bibcode:2011RvMaP..23..669C. doi:10.1142/S0129055X11004400. ISSN 0129-055X.
Sardanashvily, G. (2009). “Lectures on supergeometry” (영어). arXiv:0910.0092. Bibcode:2009arXiv0910.0092S.
Witten, Edward (2012). “Notes on supermanifolds and integration” (영어). arXiv:1209.2199. Bibcode:2012arXiv1209.2199W.
Witten, Edward (2012). “Notes on super Riemann surfaces and their moduli” (영어). arXiv:1209.2459. Bibcode:2012arXiv1209.2459W.
Hohnhold, Henning; Stefan Stolz, Peter Teichner (2011). “Super manifolds: An incomplete survey” (영어). 《Bulletin of the Manifold Atlas》 2011: 1–6. 2012년 9월 10일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 1월 7일에 확인함.
Carmeli, Claudio (2006). 《Super Lie groups: structure and representations》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문. Università degli Studi di Genova. 2011년 8월 6일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 6월 6일에 확인함.

외부 링크

“Supermanifold” (영어). 《nLab》.
“Supergeometry” (영어). 《nLab》.
“Signs in supergeometry” (영어). 《nLab》.
“Differential form on a supermanifold” (영어). 《nLab》.
“Integration over supermanifolds” (영어). 《nLab》.
“Superpoint” (영어). 《nLab》.
“Super spacetime” (영어). 《nLab》.
“Super Cartesian space” (영어). 《nLab》.
“Super Minkowski spacetime” (영어). 《nLab》.
“Complex supermanifold” (영어). 《nLab》.

같이 보기