초대칭 대수

초대칭 대수(超對稱代數, 영어: supersymmetry algebra)는 푸앵카레 대칭과 초대칭을 나타내는 리 초대수다.

정의

푸앵카레 대수는 시공에 대한 병진 $P_{\mu }$와 로런츠 변환 $M_{\mu \nu }$로 이루어진다. 이들은 보손적 생성자다. 여기에 일련의 페르미온적 생성자 $Q_{\alpha }^i$와 ${\overline{Q}}_{\dot{\alpha }}^i$를 추가한다. (만약 $𝒩$개의 초대칭이 있으면 $i=1,2,\dots ,𝒩$.) 이들은 초대칭을 나타낸다.

푸앵카레 대수는 $D$차원의 시공에서 $D$개의 병진 생성자와 $D(D-1)/2$개의 로런츠 변환으로 총 $D+D(D-1)/2$차원이다. ($D=4$일 경우에는 물론 10차원.) 여기에 $𝒩$개의 초대칭이 있는 경우에는 (중심 전하를 무시하면) 초대칭 대수는 총 $D+D(D-1)/2+\dim (\text{spinor})\times 𝒩$차원이 된다.

주어진 시공간 차원에서, 초전하(영어: supercharge)의 수는 그 차원에서의 최소 스피너 표현의 차원의 정수배이다. 이 정수를 통상적으로 $𝒩$이라고 쓴다. 가장 간단한 초대칭은 $𝒩=1$이며, $𝒩>1$인 경우를 확장 초대칭(영어: extended supersymmetry)이라고 한다. 4차원 민코프스키 공간에서의 최소 스피너 표현은 4차원 바일 또는 마요라나 스피너이므로, $𝒩=1$ 초대칭은 4개의 초전하를 가진다.

초대칭은 서로 다른 스핀의 입자들을 연관지으므로, 초대칭이 더 많을 수록 더 높은 스핀의 입자가 필요하다. 스핀이 2를 초과하는 경우는 (일반적으로) 상호작용하는 이론을 정의할 수 없다. 만약 초전하의 수가 32를 초과하는 경우 스핀이 2를 초과하는 입자가 필요하므로, 초전하는 최대 32개가 존재할 수 있다. 32개의 초전하의 경우 스핀이 2인 입자(중력자)가 필요하므로, 이는 초중력 이론을 이룬다. 11차원 초중력이나 10차원 IIA/B 초중력, 4차원 $𝒩=8$ 초중력 등이 그 예이다.

만약 중력을 포함하지 않으려면, 입자의 스핀은 최대 1이어야 한다. (스핀이 1½인 경우는 그래비티노로, 중력이 없이는 상호작용하는 그래비티노를 포함할 수 없다.) 이 경우에는 초전하의 수는 최대 16이다. 10차원 $𝒩=1$ 초대칭 양-밀스 이론이나 4차원 $𝒩=4$ 초대칭 양-밀스 이론 이 그 예이다.

다양한 시공간 차원에서 가능한 초대칭의 종류는 다음과 같다. (12차원 이상에서는 자명하지 않은 초대칭 이론이 존재할 수 없다고 여겨진다.)

다양한 차원의 민코프스키 공간에서의 최소 초대칭 수

시공간의 차원	$𝒩=1$의 초전하수
11	32
10, 9, 8, 7	16
6, 5	8
4	4
3	2
2,1	1

차원 축소에 따른 초대칭. 주어진 칸의 초대칭을 차원 축소하면 그 밑에 있는 초대칭들을 얻는다.

시공간의 차원	32개의 초전하		16개의 초전하		8개의 초전하	4개의 초전하	2개의 초전하
11	$𝒩=1$	(불가능)
10	$𝒩=(1,1)$ (IIA종)	$𝒩=(2,0)$ (IIB종)	$𝒩=(1,0)$ (I종)	(불가능)
9	$𝒩=2$		$𝒩=1$
8	$𝒩=2$		$𝒩=1$
7	$𝒩=2$		$𝒩=1$
6	$𝒩=(2,2)$		$𝒩=(1,1)$	$𝒩=(2,0)$	$𝒩=(1,0)$	(불가능)
5	$𝒩=4$		$𝒩=2$		$𝒩=1$
4	$𝒩=8$		$𝒩=4$		$𝒩=2$	$𝒩=1$	(불가능)
3	$𝒩=16$		$𝒩=8$		$𝒩=4$	$𝒩=2$	$𝒩=1$	(불가능)
2	$𝒩=(16,16)$		$𝒩=(8,8)$		$𝒩=(4,4)$	$𝒩=(2,2)$	$𝒩=(1,1)$	$𝒩=(2,0)$

4차원 초대칭

4차원에서, $𝒩=1$ 초대칭은 (디랙 스피너이므로) 총 4개의 초전하를 가진다. 즉, 일반적으로는 $4𝒩$개의 초전하가 존재한다. 이 경우, 흔히 볼 수 있는 것은 $𝒩=1$, $𝒩=2$, $𝒩=4$ 및 $𝒩=8$ 초중력이다. 중력을 포함하지 않는 경우, $𝒩>4$인 경우는 와인버그-위튼 정리에 걸려 자명한 이론이 되고, 중력을 포함한다고 해도 $𝒩=8$까지만 가능하다.

주어진 $𝒩$에 대하여, 초대칭 대수의 생성원은 다음과 같다.

• 병진 변환 $P_{\mu }$
• 회전 $J_{\mu \nu }$
• 초대칭 $Q_{\alpha }^i$, ${\overline{Q}}_{\dot{\alpha }}^i$ ($i=1,\dots ,𝒩$). 이는 R대칭군의 크기가 $𝒩$인 "벡터 표현"을 따른다. 이 표현을 $b^{ai}{}_j$라고 쓰자.
• R대칭 $R^a$는 R대칭군 $R\subseteq U(𝒩)$의 딸림표현을 따른다. 이 표현을 $f^{ab}{}_c$라고 쓰자.
• 중심 원소 $Z^{ij}$

이들의 리 초괄호는 다음과 같다.

$[P_{\mu },P_{\nu }]=0$

$[J_{\mu \nu },P_{\rho }]=i({\eta }_{\mu \rho }{P}_{\nu }-{\eta }_{\nu \rho }{P}_{\mu })$

$[J_{\mu \nu },J_{\rho \sigma }]=i({\eta }_{\mu \rho }{J}_{\nu \sigma }-{\eta }_{\mu \sigma }{J}_{\nu \rho }-{\eta }_{\nu \rho }{J}_{\mu \sigma }+{\eta }_{\nu \sigma }{J}_{\mu \rho })$

$\{Q_{\alpha }^i,Q_{\beta }^j\}={ϵ}_{\alpha \beta }{Z}^{ij}$

$[Q_{\alpha }^i,M_{\mu \nu }]=\frac{1}{2}({\sigma }_{\mu \nu }{)}^{\beta }{}_{\alpha }{Q}_{\beta }^i$

$[{\overline{Q}}_{\dot{\alpha }}^i,M_{\mu \nu }]=-\frac{1}{2}({\sigma }_{\mu \nu }{)}^{\dot{\beta }}{}_{\dot{\alpha }}{\overline{Q}}_{\dot{\beta }}^i$

$\{{\overline{Q}}^i,{\overline{Q}}^j\}=-{ϵ}_{\dot{\alpha }\dot{\beta }}(Z^{ij})†)$

$\{Q_{\alpha }^i,{\overline{Q}}_{\dot{\alpha }}^j\}=2{\sigma }_{\alpha \dot{\alpha }}^{\mu }{\delta }^{ij}{P}_{\mu }$

$[Q^i,R^a]=b^{ai}{}_j{Q}^j$

$[Q^i,R^a]=-(b^{ai}{}_j{)}^{†}{\overline{Q}}^j$

$[{\overline{Q}}^i,R^a]=-(b^{ai}{}_j{)}^{†}{Q}^j$

$[{\overline{Q}}^i,R^j{}_k]=-{\delta }_k^i{\overline{Q}}^j$

$[Z^{ij},P_{\mu }]=[Z^{ij},J_{\mu \nu }]=[Z^{ij},R^a]=[Z^{ij},Q]=0$

즉, 초대칭 전하는 일종의 운동량의 제곱근으로 생각할 수 있다.

위상 뒤틀림

4차원에서는 $𝒩=2$ 또는 $𝒩=4$인 경우 위상 뒤틀림(영어: topological twist)을 가해 위상 양자장론으로 만들 수 있다. 이 경우, $𝒩=2$인 경우는 SU(2) R대칭을 $\mathrm{Spin}(4)=\mathrm{SU}(2{)}^2$ 로런츠 대칭의 두 좌·우 성분 가운데 하나와 대각군을 취하며, $𝒩=4$인 경우는 서로 동일하지 않는 3가지의 가능한 뒤틀림이 존재한다.

초다중항

4차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다.

• $𝒩=1$
  • 손지기 초다중항(영어: chiral multiplet): 복소 스칼라장, 바일 스피너
  • 벡터 초다중항(영어: vector multiplet): 바일 스피너, 게이지장
  • 중력자 초다중항(graviton supermultiplet): 중력자, 바일 그래비티노
• $𝒩=2$
  • 하이퍼 초다중항(영어: hypermultiplet): 복소 스칼라장(×2), 디랙 스피너
    • 서로 다른 나선도의 두 $𝒩=1$ 손지기 초다중항으로 구성된다. 게이지 대칭이 있는 경우, 하나는 표현 R, 다른 하나는 그 복소 켤레 표현 R을 따른다.
  • 벡터 초다중항: 복소 스칼라장, 디랙 스피너, 게이지장
    • $𝒩=1$ 벡터 초다중항과 (게이지 딸림표현) $𝒩=1$ 손지기 초다중항으로 구성된다.
  • 중력자 초다중항: 중력자, 디랙 그래비티노, 중력광자
• $𝒩=4$
  • 벡터 초다중항: 실수 스칼라장 (×6), 바일 스피너 (×6), 게이지장
  • 중력자 초다중항
• $𝒩=8$
  • 중력자 초다중항

3차원 초대칭

3차원 민코프스키 공간에서의 초대칭은 다음과 같다. 이 경우 $𝒩=1$ 초대칭은 2개의 초대칭을 가지며, 마요라나 스피너가 된다.

$\{Q^i,{\overline{Q}}^j\}=i{\sigma }_{\alpha \beta }^{\mu }{\delta }^{ij}{P}_{\mu }+Z^{ij}$

여기서 중심 확대 $Z^{ij}$는 반대각화하여 $\lfloor 𝒩/2\rfloor$개의 실수 고윳값으로 나타낼 수 있다. $𝒩=2$ 초대칭에서는 하나의 중심 전하 $Z$가 존재하며, 이 경우 모든 물리적 상태들의 질량 $M$은 BPS 부등식

$M\ge Z$

를 만족시킨다.^:(19)

3차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다. 3차원에서는 게이지장을 $*F=\varphi$로 실수 스칼라로 이중화할 수 있다. 즉, 3차원에서는 스칼라장 및 (마요라나) 페르미온만이 존재한다.

• $𝒩=1$: 실수 스칼라장 (×1), 마요라나 스피너 (×1). R대칭은 없다.
• $𝒩=2$: 실수 스칼라장 (×2), 마요라나 스피너 (×2). R대칭은 U(1). 이 경우는 4차원 $𝒩=1$을 축소화하여 얻는다. 이 경우 게이지 이론의 거울 대칭이 존재한다.
• 마찬가지로 $𝒩=4,8,16$ 등이 존재한다.

6차원 초대칭

6차원 민코프스키 공간에서는 2차 미분형식 퍼텐셜 게이지장이 존재한다. 이 경우, 질량껍질 위에서, (1차 미분형식) 게이지장은 4개의 자유도를, 바일 스피너는 4개의 자유도를, 2차 미분형식 게이지장은 3개의 자유도를 가진다.

• $𝒩=1$. R대칭은 SU(2)이다.
  • 하이퍼 초다중항: 실수 스칼라장 (×4), 바일 스피너 (×1)
  • 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1)
  • 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1), 실수 스칼라 (×1)
• $𝒩=(1,1)$. R대칭은 SO(4)이다.
  • 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 디랙 스피너 (×1), 실수 스칼라장 (×4)
• $𝒩=(2,0)$. R대칭은 SO(5)이다.
  • 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 왼쪽 바일 스피너 (×2), 실수 스칼라장 (×5)

2차원 초대칭

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=1 초등각 장론입니다.

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=2 초등각 장론입니다.

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같이 보기

• 아딘크라 (물리학)
• 초등각 장론
• 2차원 𝒩=2 초등각 장론

각주

• Terning, John (2005). 《Modern Supersymmetry: Dynamics and Duality》 (영어). International Series of Monographs on Physics 132. Oxford University Press. doi:10.1093/acprof:oso/9780198567639.001.0001. ISBN 978-019856763-9. Zbl 1087.81006. 

외부 링크

• “Supersymmetry” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.