측정 기하학

미분기하학에서 측정 기하학(測定幾何學, 영어: calibrated geometry)은 측정 형식(calibration)이 주어진 매끄러운 다양체를 다루는 분야이다.

정의

$(M,g)$가 리만 다양체라고 하자. 그 부피 형식이 $\omega =\sqrt{\det g}{ϵ}^{\mu \nu \dots }/d!$라고 하자.$M$ 위의 측정 형식(測定形式, 영어: calibration)은 다음 두 조건을 만족하는 $M$ 위의 $p$차 미분 형식 $\varphi$이다.

• (닫힘) $d\varphi =0$
• (측정성) 임의의 $x\in M$에 대하여, 모든 유향 $p$차 선형 부분 공간 $V\in T_{x}M$에 대하여 $\varphi {|}_V=\lambda \omega {|}_V$이라고 하면 $\lambda \le 1$이다. 또한, $\lambda =1$인 $V$가 항상 존재한다.

측정 형식을 갖춘 리만 다양체를 측정 다양체(測定多樣體, 영어: calibrated manifold)라고 한다.

$p$차 측정 형식을 갖춘 리만 다양체 $(M,g,\varphi )$의 측정 부분 다양체(測定部分多樣體, 영어: calibrated submanifold) $N\subset M$는 다음을 만족하는 $p$차원 부분다양체이다.

• 모든 $x\in N$에 대하여 $\varphi {|}_{T_{x}N}=\omega {|}_{T_{x}N}$이다.

예

• $M$이 켈러 다양체이고, $\omega$가 그 켈러 형식이라고 하자. 이 경우 ${\omega }^n/n!$은 측정 형식이고, 이에 대한 측정 부분다양체는 복소 부분다양체이다.
• $M$이 복소 $n$차원 칼라비-야우 다양체라고 하고, 정칙 $n$차 복소 미분 형식 $\Omega$가 갖추어져 있다고 하자. 또한, $\Omega \wedge \overline{\Omega }$가 부피 형식과 같다고 하자. 이 경우 $\mathrm{Re}\Omega$는 측정 형식이고, 그 부분다양체는 특수 라그랑주 부분 다양체이다.
• $G_2$ 홀로노미 다양체의 경우에는 3차 형식과 그 호지 쌍대 4차 형식이 측정 형식을 이룬다. 이에 대한 측정 부분다양체는 각각 결합 부분 다양체(結合部分多樣體, 영어: associative submanifold)와 공결합 부분 다양체(共結合部分多樣體, 영어: coassociative submanifold)라고 한다.
• Spin(7) 홀로노미 다양체의 경우 평행 4차 형식(케일리 형식 Cayley form)이 존재한다. 이에 대한 측정 부분 다양체를 케일리 부분 다양체(Cayley部分多樣體, 영어: Cayley submanifold)라고 한다.

참고 문헌

• Harvey, Reese; H. Blaine Lawson Jr. (1982년 7월). “Calibrated geometries”. 《Acta Mathematica》 148 (1): 47–157. doi:10.1007/BF02392726. MR 0666108. 
• Joyce, Dominic D. (2007). 《Riemannian Holonomy Groups and Calibrated Geometry》. Oxford Graduate Texts in Mathematics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921559-1. MR 2292510. 
• Harvey, F. Reese (1990). 《Spinors and calibrations》. Perspectives in Mathematics 9. Boston: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1. MR 1045637. 
• Morgan, Frank (2009). 《Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide》 4판. Elsevier/Academic Press. ISBN 978-0-12-374444-9. MR 2455580.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Joyce, Dominic (2001). “Lectures on Calabi-Yau and special Lagrangian geometry”. arXiv:math/0108088. Bibcode:2001math......8088J. 
• Koerber, Paul (2011년 3월). “Lectures on Generalized Complex Geometry for Physicists”. 《Fortschritte der Physik》 59 (3–4): 169–242. arXiv:1006.1536. Bibcode:2011ForPh..59..169K. doi:10.1002/prop.201000083. 
• Lotay, Jason Dean (2005). 《Calibrated submanifolds and the exceptional geometries》 (PDF). 박사 학위 논문. 옥스퍼드 대학교. 

외부 링크

• Nordström, Johannes (2012년 7월). “Calibrated geometry” (PDF).