케일리-해밀턴 정리

선형대수학에서 케일리-해밀턴 정리(영어: Cayley–Hamilton theorem)는 정사각 행렬이 자기 자신의 특성 방정식을 만족시킨다는 정리이다. 아서 케일리와 윌리엄 로언 해밀턴의 이름에서 따왔다.

정의

가환환 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;K)$의 특성 다항식을

$p(x)=\det (x-M)=\sum _{k=0}^n{p}_k{x}^k\in K[x]$

라고 하자. 여기서 $\det$는 행렬식이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.^{:194, §6.4, Theorem 4}

$p(M)=\sum _{k=0}^n{p}_k{M}^k=0$

특히, $K$가 체일 경우 $M$의 최소 다항식은 특성 다항식의 약수이다.^{:194, §6.4, Theorem 4}

증명

행렬식을 통한 증명

가환환

$K[M]=\{q(M):q\in K[x]\}\subseteq \mathrm{Mat}(n;K)$

위의 $n\times n$ 행렬

$N\in \mathrm{Mat}(n;K[M])$

$N_{ij}={\delta }_{ij}M-M_{ij}\in K[M]$

을 생각하자. 여기서 ${\delta }_{ij}$는 크로네커 델타이다. 열벡터의 공간 $K^n$의 표준 기저를 $\{e_1,\dots ,e_n\}$라고 하고, $N$의 고전적 수반 행렬을 $\mathrm{adj}N$라고 하자. 그렇다면,

$\sum _{j=1}^n{N}_{ij}{e}_j=0$

$((\mathrm{adj}N)N{)}_{kj}={\delta }_{kj}\det N$

$\det N=p(M)$

이다. 따라서 임의의 $k\in \{1,\dots ,n\}$에 대하여,

$\begin{array}{cc}0& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(\mathrm{adj}N{)}_{ki}{N}_{ij}{e}_j\\ & =\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^n(\mathrm{adj}N{)}_{ki}{N}_{ij}{e}_j\\ & =\sum _{j=1}^n((\mathrm{adj}N)N{)}_{kj}{e}_j\\ & =\sum _{j=1}^n{\delta }_{kj}(\det N)e_j\\ & =(\det N)e_k\\ & =p(M)e_k\end{array}$

이다. 즉, $p(M)=0$이다.^{:194-196, §6.3}

삼각화를 통한 증명

만약 $K$가 정역일 경우, 케일리-해밀턴 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다. 편의상 $K$가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. (만약 아닐 경우 $K$의 분수체의 대수적 폐포를 취하면 된다.)

우선, $M$이 상삼각 행렬이라고 하자. 그렇다면, $M$의 최소 다항식은

$p(x)=(x-M_{11})\cdots (x-M_{nn})$

이다. $M-M_{11}$은 첫째 열의 모든 성분이 0인 상삼각 행렬이며, $(M-M_{11})(M-M_{22})$는 첫째 열과 둘째 열의 성분이 모두 0인 상삼각 행렬이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 $p(M)=0$을 얻는다.

이제, $M$이 일반적인 행렬이라고 하자. $K$가 대수적으로 닫힌 체이므로, $M$의 최소 다항식 $p(x)$는 $K$에서 1차 다항식의 곱이며, 따라서 $M$은 $K$에서 삼각화 가능 행렬이다. $G^{-1}MG$가 상삼각 행렬이 되는 가역 행렬 $G\in \mathrm{GL}(n;K)$를 취하자. 그렇다면 $G^{-1}MG$의 최소 다항식 역시 $p(x)$이므로,

$p(M)=Gp(G^{-1}MG)G^{-1}=0$

이다.^{:204-205, §6.4}

예

행렬의 거듭제곱

A 행렬이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],I_2^2=I_2,A\cdot I_2=A\because I_2$는 단위행렬(곱셈의 항등원)

이때 특성 다항식은 다음과 같다.

$p(\lambda )=\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ -3& \lambda -4\end{array}\right|=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3={\lambda }^2-5\lambda -2$

케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음 식이 성립한다.

$A^2-5A-2I_2=0$

실제로 계산해 보면, 위 식이 성립함을 확인할 수 있다.

$A^2-5A-2I_2=0$

$A^2=5A+2I_2$

위의 식을 통해 A⁴을 계산하면 다음과 같다.

$A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2$

$A^4=A^{3}A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A$

$A^4=145A+54I_2$

2 × 2 역행렬

$A^{-1}=\frac{A-5I_2}{2}.$

3 × 3 역행렬

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 3\\ 3& 2& 3\end{array}\right]$

$A^{-1}=\frac{A^2-5A-6I_3}{4}.$

외부 링크

• “Cayley-Hamilton theorem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.