퀴네트 정리

대수적 위상수학에서 퀴네트 정리(영어: Künneth theorem)는 곱공간의 호몰로지 및 코호몰로지에 대한 정리다. 체 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 각 성분의 (코)호몰로지의 곱이다. 주 아이디얼 정역 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 꼬임 부분군을 포함하는 분할 완전열로 나타내어진다. 일반적 가환환 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 스펙트럼 열의 극한으로 계산할 수 있다.

정의

체 계수

$X$와 $Y$가 위상 공간이라고 하고, ${\mathrm{H}}_{\bullet }(-;K)$가 체 $K$의 계수를 가진 특이 호몰로지라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

$\underset{i+j=k}{⨁}{\mathrm{H}}_i(X;K){\otimes }_K{\mathrm{H}}_j(Y;K)\cong {\mathrm{H}}_k(X\times Y;K)$

이를 퀴네트 정리라고 한다. 이에 따라, 베티 수에 대해서는 다음이 성립한다.

$b_X(t)=\sum _i{t}^i{\dim }_{\mathbb{Q}}{\mathrm{H}}_i(X;\mathbb{Q})$

가 베티 수의 생성함수라고 하자. 그렇다면

$b_X(t)b_Y(t)=b_{X\times Y}(t)$

이다.

호몰로지 대신 코호몰로지로도 퀴네트 정리를 적을 수 있다. 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다. 코호몰로지 환을 ${\mathrm{H}}^{\bullet }$이라고 적으면, 다음이 성립한다.

${\mathrm{H}}^{\bullet }(X;K){\otimes }_K{\mathrm{H}}^{\bullet }(Y;K)\cong {\mathrm{H}}^{\bullet }(X\times Y;K)$

여기서 좌변은 등급환의 $K$-텐서곱이다.

주 아이디얼 정역 계수

만약 계수가 체가 아닌 일반적인 가환환인 경우, 퀴네트 정리는 꼬임 때문에 더 복잡해진다.

만약 계수가 주 아이디얼 정역 $R$인 경우, 퀴네트 정리에 따르면 다음과 같은 $R$-가군의 짧은 완전열이 존재한다.

$0\to \underset{i+j=k}{⨁}{\mathrm{H}}_i(X;R){\otimes }_R{\mathrm{H}}_j(Y;R)\to {\mathrm{H}}_k(X\times Y;R)\to \underset{i+j=k-1}{⨁}{\mathrm{Tor}}_1^R({\mathrm{H}}_i(X;R),{\mathrm{H}}_j(Y;R))\to 0$

여기서 $\mathrm{Tor}$는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열은 분할 완전열이지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다.

마찬가지로, 주 아이디얼 정역 $R$ 계수의 코호몰로지에 대하여, $R$-가군의 짧은 완전열이 존재한다.

$0\to \underset{i+j=k}{⨁}{\mathrm{H}}^i(X;R){\otimes }_R{\mathrm{H}}^j(Y;R)\to {\mathrm{H}}^k(X\times Y;R)\to \underset{i+j=k+1}{⨁}{\mathrm{Tor}}_1^R({\mathrm{H}}^i(X;R),{\mathrm{H}}^j(Y;R))\to 0$

여기서 $\mathrm{Tor}$는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열 역시 분할 완전열이다.

호몰로지 스펙트럼 열

임의의 가환환 $R$ 계수의 호몰로지에 대하여, 퀴네트 정리는 다음과 같은 퀴네트 스펙트럼 열(영어: Künneth spectral sequence) $E_{\bullet \bullet }^{\bullet }$로 표현된다.^:§3.1 퀴네트 스펙트럼 열의 2번째 쪽은 다음과 같은 Tor 함자이다.

$E_{pq}^2=\underset{q_1+q_2=q}{⨁}{\mathrm{Tor}}_p^R({\mathrm{H}}_{q_1}(X;R),{\mathrm{H}}_{q_2}(Y;R))$

이 스펙트럼 열은 곱공간의 호몰로지로 수렴한다.

$E_{pq}^2\Rightarrow E_{pq}^{\mathrm{\infty }}\cong {\mathrm{H}}_{p+q}(X\times Y;R)$

보다 일반적으로, 위상군 $G$가 연속적으로 오른쪽에서 작용하는 위상 공간 $X$ 및 연속적으로 왼쪽으로 작용하는 위상 공간 $Y$가 주어졌고, $Y\twoheadrightarrow Y/G$가 $G$-주다발을 이룬다고 하자. 이 경우 $G$의 호몰로지 ${\mathrm{H}}_{\bullet }(G;R)$는 자연스럽게 환을 이루며, 이는 $X$와 $Y$의 호몰로지에 각각 오른쪽 및 왼쪽에서 작용한다. 그렇다면 스펙트럼 열,

$E_{pq}^2=\underset{q_1+q_2=q}{⨁}{\mathrm{Tor}}_p^{{\mathrm{H}}_{\bullet }(G;R)}({\mathrm{H}}_{q_1}(X;R),{\mathrm{H}}_{q_2}(Y;R))$

은 다음과 같은 $G$-곱공간의 호몰로지로 수렴한다.^:§3.1

$E_{pq}^2\Rightarrow E_{pq}^{\mathrm{\infty }}\cong {\mathrm{H}}_{p+q}(X{\times }_{G}Y;R)$

여기서

$X{\times }_{G}Y=\frac{X\times Y}{(x,g\cdot y)\sim (x\cdot g,y)\mathrm{\forall }g\in G,x\in X,y\in Y}$

이다. 이는 $G$가 자명군일 경우 단순한 곱공간이 된다.

코호몰로지 스펙트럼 열

마찬가지로, 코호몰로지의 경우 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.^:§3.2

$E_2^{pq}=\underset{q_1+q_2=q}{⨁}{\mathrm{Tor}}_p^R({\mathrm{H}}^{q_1}(X;R),{\mathrm{H}}^{q_2}(Y;R))$

만약 $X$와 $Y$의 코호몰로지가 각 차수에서 $R$-유한 생성 가군이라면, 이 스펙트럼 열은 $X\times Y$의 코호몰로지로 수렴한다.

$E_2^{pq}\Rightarrow E_{\mathrm{\infty }}^{pq}\cong {\mathrm{H}}^{p+q}(X\times Y;R)$

보다 일반적으로, 연속 함수 $f:X\to B$, $g:Y\to B$가 주어졌으며 $g$는 올뭉치를 이룬다고 하자. 그렇다면 ${\mathrm{H}}^{\bullet }(B;R)$는 $X$와 $Y$의 코호몰로지 위에 각각 오른쪽 · 왼쪽에서 작용한다. 다음 조건들을 가정하자.

• $B$는 단일 연결 공간이다.
• $X$, $Y$, $B$의 코호몰로지는 각 차수에서 $R$-유한 생성 가군이다.

그렇다면 스펙트럼 열

$E_2^{pq}=\underset{q_1+q_2=q}{⨁}{\mathrm{Tor}}_p^{{\mathrm{H}}^{\bullet }(B;R)}({\mathrm{H}}^{q_1}(X;R),{\mathrm{H}}^{q_2}(Y;R))$

은 다음과 같은 당김의 코호몰로지로 수렴한다.^:§3.2

$E_2^{pq}\Rightarrow E_{\mathrm{\infty }}^{pq}\cong {\mathrm{H}}^{p+q}(X{\times }_{B}Y;R)$

여기서 $X{\times }_{B}Y$는 범주론적 당김

$X{\times }_{B}Y=\{(x,y)\in X\times Y:f(x)=g(y)\}$

이다. 이는 $B$가 한원소 공간일 경우 단순한 곱공간이 된다.

역사

독일의 수학자 헤르만 퀴네트(독일어: Hermann Künneth)가 1923년에 발표하였다.

각주

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001. 

외부 링크

• “Künneth formula” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Künneth theorem” (영어). 《nLab》. 
• “Eilenberg–Moore spectral sequence” (영어). 《nLab》. 
• “Kunneth formula for homology” (영어). 《Topospaces》. 
• “Kunneth formula for cohomology” (영어). 《Topospaces》. 

같이 보기

• 르레-이르슈 정리