크라메르 법칙

선형대수학에서 크래머 법칙(Cramer法則, 영어: Cramer's rule) 또는 크래머 공식은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크래머 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.

정의

연립 일차 방정식

$Ax=B$

에서, $A$가 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 크라메르 법칙이라고 한다.

$x_j=\frac{\det A_j}{\det A}=\frac{\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & b_1& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & b_2& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & b_n& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & a_{2j}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}(j=1,\dots ,n)$

여기서 $A_j$는 $A$의 $j$번째 열을 $B$로 대신하여 얻는 행렬이다.

증명

연립 일차 방정식

$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1$

$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2$

$⋮$

$a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n$

의 계수 행렬 $A$의 $(i,j)$-여인자를 $C_{ij}$라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다.

$a_{1k}{C}_{1j}+a_{2k}{C}_{2j}+\cdots +a_{nk}{C}_{nj}=\{\begin{array}{cc}\det A& k=j\\ 0& k\ne j\end{array}$

$b_1{C}_{1j}+b_2{C}_{2j}+\cdots +b_n{C}_{nj}=\det A_j$

이에 따라, 각 $i$번째 방정식에 $C_{ij}$을 곱한 뒤 모두 합하면

$\det A\cdot x_j=\det A_j$

를 얻는다. $\det A\ne 0$이므로, 양변을 $\det A$로 나누면

$x_j=\frac{\det A_j}{\det A}$

를 얻는다.

예

2개의 방정식의 경우

연립 일차 방정식

$ax+by=e$

$cx+dy=f$

이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.

$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}e& b\\ f& d\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{\left|\begin{array}{cc}a& e\\ c& f\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}=\frac{af-ec}{ad-bc}$

3개의 방정식의 경우

연립 일차 방정식

$ax+by+cz=j$

$dx+ey+fz=k$

$gx+hy+iz=l$

이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.

$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}j& b& c\\ k& e& f\\ l& h& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|},y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& j& c\\ d& k& f\\ g& l& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|},z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& b& j\\ d& e& k\\ g& h& l\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}$

응용

미분기하학

크라메르 법칙은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 $F(x,y,u,v)=0$, $G(x,y,u,v)=0$이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, $x=X(u,v)$, $y=Y(u,v)$라 정의한다.

여기서 $\partial x/\partial u$의 방정식을 찾는 것은 크라메르 법칙으로 해결할 수 있다.

먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.

$dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial u}du+\frac{\partial F}{\partial v}dv=0$

$dG=\frac{\partial G}{\partial x}dx+\frac{\partial G}{\partial y}dy+\frac{\partial G}{\partial u}du+\frac{\partial G}{\partial v}dv=0$

$dx=\frac{\partial X}{\partial u}du+\frac{\partial X}{\partial v}dv$

$dy=\frac{\partial Y}{\partial u}du+\frac{\partial Y}{\partial v}dv$

dF, dG에 dx와 dy를 대입하면

$dF=(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial u})du+(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial v})dv=0$

$dG=(\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial u})du+(\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial v})dv=0$

u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}=-\frac{\partial F}{\partial u}$

$\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}=-\frac{\partial G}{\partial u}$

$\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{\partial F}{\partial v}$

$\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{\partial G}{\partial v}$

따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다.

$\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\left|\begin{array}{cc}-\frac{\partial F}{\partial u}& \frac{\partial F}{\partial y}\\ -\frac{\partial G}{\partial u}& \frac{\partial G}{\partial y}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial x}& \frac{\partial F}{\partial y}\\ \frac{\partial G}{\partial x}& \frac{\partial G}{\partial y}\end{array}\right|}$

이것은 두 개의 야코비안 항이다.

$\frac{\partial x}{\partial u}=-\frac{\left(\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,u)}\right)}{\left(\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}\right)}$

유사하게 $\frac{\partial x}{\partial v}$, $\frac{\partial y}{\partial u}$, $\frac{\partial y}{\partial v}$의 공식들도 유도할 수 있다.

역사

스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.

같이 보기

• 가우스 소거법

외부 링크

• “Cramer rule” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cramer's rule” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Cramer's rule” (영어). 《PlanetMath》.