폐포 (수학)

수학에서, 어떤 집합의 그 위의 관계에 대한 닫힘(영어: closure)은 그 집합의 원소와 관계가 있는 원소가 항상 그 집합에 속한다는 성질이다. 어떤 집합의 어떤 성질에 대한 폐포(閉包, 영어: closure)는 그 집합을 포함하면서 그 성질을 만족시키는 가장 작은 대상이다. 여기서 다루는 성질은 보통 닫힘 성질이다. 폐포의 기호는 $\mathrm{cl}X$ 또는 $\overline{X}$.

정의

닫힘

다음이 주어졌다고 하자.

• 집합 $S$
• $S\cup \{\bullet \}$ 위의 '$\mathrm{Ord}+1$항 관계' $R\subset (S\cup \{\bullet \}{)}^{\times (\mathrm{Ord}+1)}$. 단, 임의의 $r\in R$에 대하여, $r_{\mathrm{Ord}}\in S$이며, $r_{\alpha }\in ̸S⟹r_{\beta }\in ̸S\mathrm{\forall }\alpha <\beta <\mathrm{Ord}$
  • 특히, $\alpha <\mathrm{Ord}$에 대하여, $S$ 위의 $\alpha +1$항 관계를 위 조건 및 $\min \{\beta :r_{\beta }\in ̸S\}=\alpha$를 만족시키는 '$\mathrm{Ord}+1$항 관계'로 여길 수 있다. 또한, $\alpha$항 연산은 자연스럽게 $\alpha +1$항 관계로 여길 수 있다.

만약 $S$의 부분 집합 $T\subset S$가 다음 조건을 만족시키면, $T$가 $R$에 대하여 닫혀있다(영어: closed under $R$)고 한다.

• 임의의 $(t_{\alpha }{)}_{\alpha <\mathrm{Ord}}\subset T\cup \{\bullet \}$ 및 $t_{\mathrm{Ord}}\in S$에 대하여, $(t_{\alpha }{)}_{\alpha \le \mathrm{Ord}}\in R$이면 $t_{\mathrm{Ord}}\in T$

보다 일반적으로, 위 조건을 만족시키는, $S\cup \{\bullet \}$ 위의 '$\mathrm{Ord}+1$항 관계'의 집합 $ℛ$가 주어졌을 때, $T\subset S$가 다음 조건을 만족시키면, $ℛ$에 대하여 닫혀있다(영어: closed under $ℛ$)고 한다.

• $T$는 $\bigcup ℛ$에 대하여 닫혀있다.
  • 즉, 임의의 $R\in ℛ$에 대하여, $T$는 $R$에 대하여 닫혀있다.

폐포

다음이 주어졌다고 하자.

• 집합 $S$
• $S$의 부분 집합들에 대한 성질 $P\subset 𝒫(S)$

$S$의 부분 집합 $T\subset S$의 $P$에 대한 폐포 ${\mathrm{cl}}_{P}T$는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.

• $T\subset {\mathrm{cl}}_{P}T\in P$
• 임의의 $T\subset U\in P$에 대하여, ${\mathrm{cl}}_{P}T\subset U$

폐포는 존재하지 않을 수 있으며, 존재한다면 유일하다. $P$가 어떤 관계(또는 관계 집합)에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 성질일 경우, 폐포는 반드시 존재하며, $T$에 $T$의 원소와 관계 있는 원소들을 추가하고, 이렇게 얻은 집합의 원소들과 관계 있는 원소들을 추가하는 과정을 계속하여 얻는다.

예

위상수학

위상 공간 $X$의 부분 집합 $Y\subset X$가 다음 $|X|+1$항 관계 $R$에 대하여 닫혀있다면, $X$의 닫힌집합이라고 한다. 임의의 $x_0,x_1,\dots ,x_{|X|}\in X$에 대하여,

$(x_0,x_1,\dots ,x_{|X|})\in R⟺x_{|X|}\in {\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_2(\{x_{\alpha }{\}}_{\alpha <|X|})$

여기서 ${\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_2$는 극한점의 집합의 기호이다. 즉 닫힌집합은 극한점을 취하는 행위에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. $X$의 부분 집합 $Y\subset X$에 대하여, 최소 닫힌집합 $Y\subset \mathrm{cl}Y\subset X$를 $Y$의 폐포라고 한다.

비슷하게, 점렬 닫힌집합과 점렬 폐포를 정의할 수 있다. 점렬 닫힌집합은 다음과 같은, 점렬 극한을 취하는 $\omega +1$항 관계 $R$에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 임의의 $x_0,x_1,\dots ,x_{\omega }\in X$에 대하여,

$(x_0,x_1,\dots ,x_{\omega })\in R⟺x_n\to x_{\omega }$

대수학

군 $G$의 부분 집합 $H\subset G$가 군의 연산 집합 $\{1_G,\cdot ,{}^{-1}\}$에 대하여 닫혀있다면, $G$의 부분군이라고 한다. $S\subset G$에 대하여, 최소 부분군 $S\subset ⟨S⟩\subset G$를 $S$로 생성되는 군이라고 한다.

대수적으로 닫힌 체 $K$의 부분체 $K/L$이 $K$ 속에서 $L$ 위의 다항식의 근을 구하는 행위에 대하여 닫혀있다면, $L$ 역시 대수적으로 닫힌 체이다. 부분체 $K/L$의 대수적 폐포 $\overline{L}$는 최소 대수적으로 닫힌 체 $K/\overline{L}/L$이다. $L$이 $K$의 부분체라는 제한을 없앨 경우, 대수적 폐포는 유일하지 않으며, 대신 동형 아래 유일하다.

집합론

집합 $X$가 (모든 집합의 모임 $V$ 위의) 원소 관계 $\in$에 대하여 닫혀있다면, 추이적 집합이라고 한다. 집합 $X$에 대하여, 최소 추이적 집합 $X\subset \mathrm{c}{\mathrm{l}}_{\mathrm{trn}}X\subset V$를 $X$의 추이적 폐포라고 한다.

집합 $S$ 위의 이항 관계 $R\subset S\times S$가 $S\times S$ 위의 일항 관계 $\{(s,s)|s\in S\}\subset S\times S$에 대하여 닫혀있다면, 즉, $\{(s,s)|s\in S\}\subset R$이라면, 반사 관계라고 한다. 이항 관계 $R\subset S\times S$에 대하여, 최소 반사 관계 $R\subset \mathrm{c}{\mathrm{l}}_{\mathrm{ref}}R\subset S\times S$를 $R$의 반사 폐포라고 한다. 비슷하게, 대칭 관계 · 대칭 폐포 · 추이적 관계 · 추이적 폐포 · 동치 관계 · 동치 폐포를 정의할 수 있다.

같이 보기

• 폐포 연산자