푸앵카레 쌍대성

대수적 위상수학에서 푸앵카레 쌍대성(Poincaré雙對性, 영어: Poincaré duality)은 호몰로지 군과 코호몰로지 군에 대한 대응성이다.

정의

정수 계수

$M$이 (경계가 없는) 콤팩트 $n$차원 유향 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 방향은 기본류

$[M]\in {\mathrm{H}}_n(M;\mathbb{Z})$

를 정의한다.

그렇다면, 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.

${\mathrm{H}}^k(M;\mathbb{Z})\to H_{n-k}(M;\mathbb{Z})$

$[\alpha ]\mapsto [M]⌣[\alpha ]$

여기서 $⌣$은 호몰로지류와 코호몰로지류의 합곱이다.

이 사상은 아벨 군의 동형 사상을 이루며, 이를 푸앵카레 쌍대성이라고 한다.

베티 수 $b_k$는 호몰로지 및 코호몰로지의 차원이므로, 다음이 성립한다.

$b_k=b_{n-k}$.

정수 계수에서 성립하므로, 사실 위의 푸앵카레 쌍대성은 임의의 아벨 군 계수에 대하여 마찬가지로 성립한다.

𝔽₂ 계수

$M$이 (경계가 없는) 콤팩트 $n$차원 다양체 $M$이 주어졌다고 하자. ($M$이 가향 다양체일 필요가 없다.)

이 경우, 기본류는 ${𝔽}_2$ 계수에서 잘 정의된다.

$[M]\in {\mathrm{H}}_n(M;{𝔽}_2)$

이 경우, 마찬가지로 다음과 같은, ${𝔽}_2$-벡터 공간의 동형 사상이 존재한다.

${\mathrm{H}}^k(M;{𝔽}_2)\to {\mathrm{H}}_{n-k}(M;{𝔽}_2)$

$[\alpha ]\mapsto [M]⌣[\alpha ]$

성질

짝수 $2k$차원 콤팩트 다양체 $M$이 주어졌다고 하자. 또한, 다음과 같은 두 경우를 생각하자.

• $K=\mathbb{Z}$이며, $M$은 유향 다양체
• $K={𝔽}_2$

두 경우 다 기본류 $[M]\in {\mathrm{H}}_{2k}(M;K)$가 존재한다. 이 경우, 푸앵카레 쌍대성에 의하여, $K$-가군 ${\mathrm{H}}_k(M;K)$ 위에 다음과 같은 이차 형식이 존재한다.

${\mathrm{H}}_k(M;K)\otimes {\mathrm{H}}_k(M;K)\to K$

$([M]⌣[\alpha ])\otimes ([M]⌣[\beta ])\mapsto [M]⌣([\alpha ]⌢[\beta ])$

이를 $M$의 교차 형식(영어: intersection form)이라고 한다.

역사

앙리 푸앵카레가 1893년에 베티 수에 대한 관계로 제시하였다. 푸앵카레는 1895년에 푸앵카레 쌍대성의 증명을 발표하였으나, 덴마크의 수학자 포울 헤고르(언어 오류(da): Poul Heegaard)가 오류를 지적하였다. 푸앵카레는 이 논문의 속편에서 수정한 다른 증명을 발표하였다.

1930년대에 코호몰로지가 발견되면서, 푸앵카레 쌍대성이 베티 수를 넘어서 호몰로지와 코호몰로지 사이의 관계라는 사실이 밝혀졌다.

같이 보기

• 브뤼아 분해
• 기본류
• 바일 군

각주

• “Poincaré duality” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Poincaré duality” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Poincaré duality” (영어). 《nLab》.