3차원 직교군

3차원 직교군(三次元直交群, 영어: three-dimensional orthogonal group)은 3차원 유클리드 공간의 회전 및 반사로 구성되는 리 군이다.

정의

3차원 직교군 $O (3; ℝ)$ 는 3×3 실수 직교 행렬들로 구성된 리 군이다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.

3차원 특수직교군 $SO (3; ℝ)$ . 3×3 실수 직교 행렬의 행렬식은 ±1이며, 이 가운데 행렬식이 +1인 것들은 $O (3; ℝ)$ 의 부분군을 이룬다. 이 부분군을 $SO (3; ℝ)$ 라고 한다.
2차원 사영 특수 유니터리 군 $PSU (2)$ .
3차원 사영 특수직교군 $PSO (3; ℝ)$ . 차원이 홀수이므로 사영 직교군은 특수직교군과 같다.

다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.

2차원 특수 유니터리 군 $SU (2)$ 는 2×2 복소수 유니터리 행렬 가운데, 행렬식이 1인 것들로 구성된 리 군이다.
3차원 스핀 군 $Spin (3)$
1차원 심플렉틱 군 $Sp (1) = USp (2) ≅ {x \in ℍ : ‖ x ‖ = 1}$ . 이는 노름이 1인 사원수들의 곱셈군이다.

복소수 표현

다음과 같은 두 겹 피복이 존재한다.

SU (2) ↠ SO (3)

즉, $SU (2)$ 는 3차원 스핀 군 $Spin (3)$ 과 동형이다. 이 피복 사상은 다음과 같다.

(\begin{matrix} α & β \\ - \bar{β} & \bar{α} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} \frac{1}{2} (α^{2} - β^{2} + {\bar{α}}^{2} - {\bar{β}}^{2}) & \frac{i}{2} (- α^{2} - β^{2} + {\bar{α}}^{2} + {\bar{β}}^{2}) & - α β - \bar{α} \bar{β} \\ \frac{i}{2} (α^{2} - β^{2} - {\bar{α}}^{2} + {\bar{β}}^{2}) & \frac{1}{2} (α^{2} + β^{2} + {\bar{α}}^{2} + {\bar{β}}^{2}) & - i (+ α β - \bar{α} \bar{β}) \\ α \bar{β} + \bar{α} β & i (- α \bar{β} + \bar{α} β) & α \bar{α} - β \bar{β} \end{matrix})

이는 다음과 같이 해석할 수 있다. 우선, $SO (3)$ 는 2차원 구 $𝕊^{2}$ 위에 등거리 사상으로 구성된 표준적인 충실한 표현을 가진다. 또한, $𝕊^{2}$ 는 리만 구 $\hat{ℂ}$ 로 해석할 수 있으며, 이 경우 구의 등거리 자기 동형은 리만 구 위의 뫼비우스 변환으로 나타내어진다. 즉, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

ι : SO (3) ↪ PSL (2; ℂ)

이 경우, $ι$ 의 상은 다음과 같은 꼴의 뫼비우스 변환들이다.

z \mapsto \frac{α z + β}{- \bar{β} z + \bar{α}}

마찬가지로, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.

ι^{'} : PSU (2) ↪ PSL (2; ℂ)

ι^{'} : \pm (\begin{matrix} α & β \\ - \bar{β} & \bar{α} \end{matrix}) \mapsto (z \mapsto \frac{α z + β}{- \bar{β} z + \bar{α}})

따라서, 이는 동형 $PSU (2) ≅ SO (3)$ 를 정의한다.

사원수 표현

동형 $SU (2) ≅ Sp (1)$ 은 다음과 같이 이해할 수 있다. $Sp (1)$ 은 정의에 따라 노름이 1인 사원수들로 구성된다. 주어진 사원수에 대응하는 2×2 특수 유니터리 행렬은 다음과 같다.

Sp (1) \mapsto SU (2)

a + i b + j c + k d \mapsto (\begin{matrix} a + i b & - c + i d \\ c + i d & a - i b \end{matrix})

마찬가지로, 두 겹 피복군 $Sp (1) ↠ SO (3)$ 는 다음과 같이 이해할 수 있다.

Sp (1) \mapsto SO (3)

a + i b + j c + k d \mapsto (\begin{matrix} 1 - 2 c^{2} - 2 d^{2} & 2 b c - 2 d a & 2 b d + 2 c a \\ 2 b c + 2 d a & 1 - 2 b^{2} - 2 d^{2} & 2 c d - 2 b a \\ 2 b d - 2 c a & 2 c d + 2 b a & 1 - 2 b^{2} - 2 c^{2} \end{matrix})

이는 $(b, c, d)$ 를 축으로 하여, 각도 $2 θ$ 만큼 회전하는 행렬이며, 여기서 각도 $θ$ 는 다음과 같다.

\cos (θ) = a

| \sin (θ) | = ‖ a + i b + j c + k d ‖ = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}}

즉, 단위 사원수 집합을 4차원 극좌표계 $(r, θ, ϕ, χ)$ 로 나타내었을 때, $θ$ 는 극각에 해당한다.. 이 경우, 사원수 $a + i b + j c + k d$ 와 $- a - i b - j c - k d$ 가 같은 직교 행렬에 대응하므로, 이는 2겹 피복임을 알 수 있다.

이는 사원수 곱셈으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다. 4차원 벡터 $(t, x, y, z)$ 를 사원수 $v = t + i x + i y + i z$ 로 나타내자. 그렇다면, 4차원 회전 $SO (4) ≅ (SU (2) \times SU (2)) / (ℤ / 2)$ 의 작용은 다음과 같이 생각할 수 있다. 각 $SU (2)$ 의 원소를 단위 사원수 $q_{1}$ , $q_{2}$ 로 나타낸다면, 4차원 회전은 다음과 같다.

v \mapsto q_{1} v q_{2}

여기서 $ℤ / 2$ 에 대한 몫군을 취하는 것은 $(q_{1}, q_{2})$ 와 $(- q_{1}, - q_{2})$ 가 같은 작용을 갖기 때문이다.

3차원 공간의 회전은 이 작용에서, $t$ 축의 안정자군이다. $t$ 축이 고정될 조건은 $q_{1} q_{2} = 1$ 인 것이며, 따라서 $q_{1} = q_{2}^{- 1} = {\bar{q}}_{2}$ 이다. 즉, $SO (3) ≅ Sp (1) / (ℤ / 2)$ 의 작용은 다음과 같다.

v \mapsto q v \bar{q} (q \in ℍ, ‖ q ‖ = 1)

여기서 $ℤ / 2$ 에 대한 몫군을 취하는 것은 $\pm q$ 가 같은 작용을 갖기 때문이다.

리 대수

$SU (2)$ 의 리 대수 $𝔰 𝔲 (2)$ 의 기저는 파울리 행렬 $\frac{1}{2} σ^{i}$ 로 주어진다.

[\frac{1}{2} σ^{i}, \frac{1}{2} σ^{j}] = ϵ_{i j k} \frac{1}{2} σ^{k}

$SO (3)$ 의 리 대수 $𝔰 𝔬 (3)$ 의 기저는 무한소 3차원 회전 $L_{i}$ 로 다음과 같이 주어진다.

L_{1} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})

L_{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{matrix})

L_{3} = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

$L_{i}$ 는 $i$ 번째 축에 대한 무한소 회전이며, 다음과 같은 구조 상수를 갖는다.

[L_{i}, L_{j}] = ϵ_{i j k} L^{k}

이 경우, 리 대수의 동형 $su (2) ≅ so (3)$ 는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

\frac{1}{2} σ^{1} \mapsto L_{i}

성질

대수학적 성질

$SU (2)$ 의 중심은 ${\pm 1_{2 \times 2}}$ 이며, 이에 대하여 몫군을 취하면 $PSU (2) ≅ SO (3)$ 를 얻는다.

SO(3) 또는 SU(2)의 유한 부분군은 ADE 분류를 갖는다.^[1]^{:35, Theorem 11}^[2]^{:Theorem 4}

위상수학적 성질

$SU (2)$ 와 $SO (3)$ 는 둘 다 콤팩트 연결 3차원 매끄러운 다양체이다.

$SU (2)$ 는 위상수학적으로 3차원 초구 $𝕊^{3}$ 이다. (초구에 리 군의 구조를 줄 수 있는 경우는 0·1·3차원밖에 없다.) 이는 콤팩트 단일 연결 공간이다.

$SO (3) ≅ PSU (2)$ 는 위상수학적으로 3차원 실수 사영 공간 ${ℝ ℙ}^{3} ≅ 𝕊^{3} / (ℤ / 2)$ 이다. 여기서 $ℤ / 2$ 에 대한 몫공간을 취하는 것은 대척점을 이어붙이는 것과 같다.

$O (3)$ 는 두 개의 연결 성분을 가진다. 이는 행렬식이 ±인 직교 행렬들로 구성된다.

표현론

$SU (2)$ 의 유한 차원 표현은 차원에 따라 완전히 분류된다. 즉, 주어진 차원 $n = 0, 1, 2, \dots$ 에 대하여, (동형 아래) 유일한 $n$ 차원 복소수 표현이 존재하며, 이는 유니터리 표현이다. 만약 $n$ 이 짝수인 경우, 이는 $n$ 차원 실수 표현으로 나타낼 수 있다. 양자역학에서, $n$ 차원 표현은 스핀 $(n - 1) / 2$ 표현으로 일컬어진다.

$SO (3)$ 의 유한 차원 표현들은 $SU (2)$ 의 $n$ 차원 표현들 가운데, $n$ 이 홀수인 것들이다. 예를 들어, $n = 3$ 인 경우는 $SO (3)$ 를 정의하는, 3차원 유클리드 공간 위의 특수 직교 행렬로서의 표현이다.

참고 문헌

↑ Rees, Elmer G. (1983). 《Notes on geometry》 (영어). Universitext. 베를린-뉴욕: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-61777-5. ISBN 978-3-540-12053-7. ISSN 0172-5939. MR 0681482. Zbl 0498.51001.
↑ Keenan, Adam (2003년 9월 12일). “Which finite groups act freely on spheres?” (PDF) (영어). 《Department of Mathematics, The University of Utah》. 2005년 2월 22일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Rotation matrix” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Improper rotation” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Trimble, Todd. “Notes on SU(2) reps” (영어).
이철희. “3차원 공간의 회전과 SO(3)”. 《수학노트》.
이철희. “Spin(3)”. 《수학노트》.
이철희. “3차원 유한회전군의 분류”. 《수학노트》.

같이 보기

[Rees-1] Rees, Elmer G. (1983). 《Notes on geometry》 (영어). Universitext. 베를린-뉴욕: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-61777-5. ISBN 978-3-540-12053-7. ISSN 0172-5939. MR 0681482. Zbl 0498.51001.

[Keenan-2] Keenan, Adam (2003년 9월 12일). “Which finite groups act freely on spheres?” (PDF) (영어). 《Department of Mathematics, The University of Utah》. 2005년 2월 22일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서.

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