유도 함자

호몰로지 대수학에서 왼쪽 유도 함자(-誘導函子, 영어: left derived functor)와 오른쪽 유도 함자(-誘導函子, 영어: right derived functor)는 각각 오른쪽 완전 함자 또는 왼쪽 완전 함자가 왼쪽 또는 오른쪽에서 완전하지 못한 정도를 측정하는 함자이다.

정의

유도 함자의 개념은 원래 단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주의 대상에 대하여 정의되었다. 이 정의는 아벨 범주의 대상 대신 그 속의 사슬 복합체에 대하여 일반화할 수 있으며, 하나의 대상에 대한 유도 함자는 하나의 성분만을 가지는 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사슬 복합체에 대하여 정의된 유도 함자는 초유도 함자(超誘導函子, 영어: hyperderived functor) 또는 초코호몰로지(超cohomology, 영어: hypercohomology)라고 한다. 초유도 함자의 값은 사슬 복합체의 유사동형에 의존하지 않으며, 따라서 자연스럽게 유도 범주 위에 정의된다.

사슬 복합체의 범주는 자연스럽게 모형 범주를 이루며, 초유도 함자의 개념을 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다.

단사 · 사영 분해를 통한 정의

단사 분해

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 $𝒜$에서, 임의의 대상 $A\in 𝒜$에 대하여 단사 분해, 즉 다음과 같은 꼴의 긴 완전열이 존재한다.

$0\to A\to I^0\to I^1\to I^2\to \cdots$

여기서 $I^{\bullet }\in {\mathrm{Ch}}_{\ge 0}^{\bullet }(𝒜)$는 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체이다. 이러한 긴 완전열을 대상 $A$의 단사 분해(영어: injective resolution)이라고 한다. 단사 분해는 유일하지 않을 수 있다. 단사 분해는 다음과 같은 꼴의, 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체의 유사동형과 같다.

$\begin{array}{ccccccccc}0& \to & A& \to & 0& \to & 0& \to & \cdots \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & I^0& \to & I^1& \to & I^2& \to & \cdots \end{array}{\mathrm{H}}^i(I)=\{\begin{array}{cc}A& i=0\\ 0& i>0\end{array}$

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 $𝒜$와 아벨 범주 $ℬ$ 및 그 사이의 왼쪽 완전 함자 $F:𝒜\to ℬ$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $𝒜$의 대상 $A\in 𝒜$에 대하여, 그 (임의의) 단사 분해의 $F$에 대한 상을 생각하자.

$\begin{array}{ccccccccc}0& \to & F(A)& \to & 0& \to & 0& \to & \cdots \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & F(I^0)& \to & F(I^1)& \to & F(I^2)& \to & \cdots \end{array}$

$F$는 두 행의 유사동형을 보존하지 않는다. 즉, $I^{\bullet }$는 완전열이었지만, $F(I^{\bullet })$은 더 이상 완전열이 아니다. $F(I^{\bullet })$의 코호몰로지를 $F$의 오른쪽 유도 함자의 값으로 정의한다.

${\mathrm{R}}^{\bullet }F:𝒜\to {\mathrm{Ch}}_{\le 0}^{\bullet }$

${\mathrm{R}}^{\bullet }F(A)={\mathrm{H}}^{\bullet }(F(I))$

특히, ${\mathrm{R}}^{0}F(A)=F(A)$이다.

보다 일반적으로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 $𝒜$ 속의 자연수 차수 공사슬 복합체 $A^{\bullet }\in {\mathrm{Ch}}_{\ge 0}^{\bullet }(𝒜)$가 주어졌을 때, 항상 단사 대상으로 구성된 유사동형 공사슬 복합체를 찾을 수 있다.

$\begin{array}{ccccccccc}0& \to & A^0& \to & A^1& \to & A^2& \to & \cdots \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & I^0& \to & I^1& \to & I^2& \to & \cdots \end{array}{\mathrm{H}}^i(I)={\mathrm{H}}^i(A)$

이를 공사슬 복합체 $A^{\bullet }$의 단사 분해라고 한다. 하나의 대상의 단사 분해는 0차 성분만을 가진 공사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 임의의 공사슬 복합체 $A^{\bullet }\in {\mathrm{Ch}}_{\ge 0}^{\bullet }(𝒜)$에 대하여, 왼쪽 완전 함자 $F:𝒜\to ℬ$는 두 행의 유사동형을 일반적으로 보존하지 않는다. $F$의 오른쪽 초유도 함자(영어: right hyperderived functor)의 값은 $A^{\bullet }$의 단사 분해 $I^{\bullet }$의 상 $F(I)$의 코호몰로지이다.

${\mathrm{R}}^{\bullet }F:{\mathrm{Ch}}_{\ge 0}^{\bullet }(F)\to {\mathrm{Ch}}_{\ge 0}^{\bullet }(ℬ)$

${\mathrm{R}}^{\bullet }F(A)={\mathrm{H}}^{\bullet }(F(A))$

서로 다른 단사 분해를 사용하면, 자연 동형 오른쪽 유도 함자를 얻으며, 따라서 오른쪽 유도 함자는 단사 분해의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 오른쪽 유도 함자 $R^{i}F:𝒜\to ℬ$는 가법 함자임을 보일 수 있다.

사영 분해

단사 대상 대신, 사영 대상을 사용해 오른쪽 완전 함자 $G$의 왼쪽 유도 함자(영어: left derived functor) ${\mathrm{L}}_{i}G$도 유사하게 정의할 수 있다.

사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 $𝒜$에서, 대상 $A\in 𝒜$의 사영 분해(영어: projective resolution) $P_{\bullet }$를 생각하자.

$\begin{array}{ccccccccc}\cdots & \to & P_2& \to & P_1& \to & P_0& \to & 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \cdots & \to & 0& \to & 0& \to & A& \to & 0\end{array}{\mathrm{H}}_i(I)=\{\begin{array}{cc}A& i=0\\ 0& i>0\end{array}$

사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 $𝒜$와 아벨 범주 $ℬ$ 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 $F:𝒜\to ℬ$의 왼쪽 유도 함자 ${\mathrm{L}}_{i}F(A)$는 $A$의 사영 분해의 상의 호몰로지이다.

$\begin{array}{ccccccccc}\cdots & \to & F(P_2)& \to & F(P_1)& \to & F(P_0)& \to & 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \cdots & \to & 0& \to & 0& \to & F(A)& \to & 0\end{array}{\mathrm{H}}_i(F(P_{\bullet }))={\mathrm{L}}_{i}F(P_{\bullet })$

${\mathrm{L}}_{\bullet }F:𝒜\to {\mathrm{Ch}}_{\bullet }^{\ge 0}(ℬ)$

보다 일반적으로, 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 $𝒜$ 속의 자연수 차수 사슬 복합체 $A_{\bullet }\in {\mathrm{Ch}}_{\bullet }^{\ge 0}(𝒜)$가 주어졌을 때, 항상 사영 대상으로 구성된 유사동형 사슬 복합체를 찾을 수 있다.

$\begin{array}{ccccccccc}\cdots & \to & P_2& \to & P_1& \to & P_0& \to & 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \cdots & \to & A_2& \to & A_1& \to & A_0& \to & 0\end{array}{\mathrm{H}}_i(I_{\bullet })={\mathrm{H}}_i(A_{\bullet })$

이를 사슬 복합체 $A_{\bullet }$의 사영 분해라고 한다. 하나의 대상의 사영 분해는 0차 성분만을 가진 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 $𝒜$와 아벨 범주 $ℬ$ 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 $F:𝒜\to ℬ$의 왼쪽 초유도 함자(영어: left hyperderived functor)

${\mathrm{L}}_{\bullet }F:{\mathrm{Ch}}_{\bullet }^{\ge 0}𝒜\to {\mathrm{Ch}}_{\bullet }^{\ge 0}(ℬ)$

는 $A_{\bullet }$의 사영 분해의 상의 호몰로지이다.

$\begin{array}{ccccccccc}\cdots & \to & F(P_2)& \to & F(P_1)& \to & F(P_0)& \to & 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \cdots & \to & F(A_2)& \to & F(A_1)& \to & F(A_0)& \to & 0\end{array}{\mathrm{H}}_i(F(P_{\bullet }))={\mathrm{L}}_{i}F(P_{\bullet })$

모형 범주를 통한 정의

단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 위의 (공)사슬 복합체의 범주는 모형 범주를 이루며, 그 위의 유도 함자의 정의는 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우 단사·사영 분해는 (적절한 모형 범주 구조에 대한) (쌍대)올 분해에 대응한다.

모형 범주 $ℳ$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자

$ℳ\to \mathrm{ho}(ℳ)$

가 존재한다. 이 함자는 모형 범주 $ℳ$의 약한 동치 사상을 호모토피 범주 $\mathrm{ho}(ℳ)$의 동형 사상으로 대응시킨다.

모형 범주에서 올뭉치를 $\twoheadrightarrow$, 쌍대올뭉치를 $\hookrightarrow$, 약한 동치를 $\stackrel{\sim }{\to }$로 표기하자. 시작 대상은 $\{\bullet \}\in ℳ$이며, 끝 대상은 $\varnothing \in ℳ$로 표기하자.

올 분해

모형 범주 $ℳ$에서 범주 $𝒟$로 가는 함자 $F:ℳ\to 𝒟$가 $ℳ$의 올대상 사이의 약한 동치를 $ℬ$의 동형 사상으로 보낸다고 하자.

임의의 대상 $A\in ℳ$에 대하여, 그 올분해(영어: fibrant resolution)

$A\stackrel{\sim }{\to }I\twoheadrightarrow \{\bullet \}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $F$의 오른쪽 초유도 함자 $\mathrm{R}F$는 다음과 같다.

$\mathrm{R}F:\mathrm{ho}(ℳ)\to 𝒟$

$\mathrm{R}F:A\mapsto F(I)$

이 함자는 약한 동치를 동형 사상으로 대응시키므로, 자연스럽게 호모토피 범주 $\mathrm{ho}(ℳ)$위에 정의된다.

공사슬 복합체	모형 범주
공사슬 복합체 범주 ${\mathrm{Ch}}_{\ge 0}^{\bullet }(𝒜)$	모형 범주 $ℳ$
공사슬 복합체 범주의 유도 범주 ${\mathrm{D}}_{\ge 0}^{\bullet }(𝒜)$	모형 범주의 호모토피 범주 $\mathrm{ho}(ℳ)$
유도 범주 $\mathrm{D}(ℬ)$	범주 $𝒟$
오른쪽 완전 함자 $F:𝒜\to ℬ$로부터 정의된 함자 $F^{*}:{\mathrm{Ch}}_{\ge 0}^{\bullet }\to \mathrm{D}(ℬ)$	함자 $F:ℳ\to 𝒟$
단사 대상으로 구성된 공사슬 복합체 $I^{\bullet }$	올 대상 $I\twoheadrightarrow \{\bullet \}$
단사 분해 $A^{\bullet }\to I^{\bullet }$	올 분해 $A\stackrel{\sim }{\to }I\twoheadrightarrow \{\bullet \}$
오른쪽 초유도 함자 $\mathrm{R}F:{\mathrm{D}}_{\ge 0}^{\bullet }(𝒜)\to \mathrm{D}(ℬ)$	오른쪽 초유도 함자 $\mathrm{R}F:ℳ\to 𝒟$

쌍대올 분해

모형 범주 $ℳ$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자

$ℳ\to \mathrm{ho}(ℳ)$

가 존재한다.

모형 범주 $ℳ$에서 범주 $𝒟$로 가는 함자 $F:ℳ\to 𝒟$가 $ℳ$의 쌍대올대상 사이의 약한 동치를 $ℬ$의 동형 사상으로 보낸다고 하자.

임의의 대상 $A\in ℳ$에 대하여, 그 쌍대올분해

$\varnothing \hookrightarrow Q\to A$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $F$의 왼쪽 초유도 함자 $\mathrm{L}F$는 다음과 같다.

$\mathrm{L}F:\mathrm{ho}(ℳ)\to 𝒟$

$\mathrm{L}F:A\mapsto F(Q)$

사슬 복합체	모형 범주
사슬 복합체 범주 ${\mathrm{Ch}}_{\bullet }^{\ge 0}(𝒜)$	모형 범주 $ℳ$
사슬 복합체 범주의 유도 범주 ${\mathrm{D}}_{\bullet }^{\ge 0}(𝒜)$	모형 범주의 호모토피 범주 $\mathrm{ho}(ℳ)$
유도 범주 $\mathrm{D}(ℬ)$	범주 $𝒟$
오른쪽 완전 함자 $F:𝒜\to ℬ$로부터 정의된 함자 $F^{*}:{\mathrm{Ch}}_{\bullet }^{\ge 0}\to \mathrm{D}(ℬ)$	함자 $F:ℳ\to 𝒟$
사영 대상으로 구성된 사슬 복합체 $P_{\bullet }$	쌍대올 대상 $0\hookrightarrow P$
사영 분해 $P_{\bullet }\to A_{\bullet }$	쌍대올 분해 $0\hookrightarrow P\to A$
왼쪽 초유도 함자 $\mathrm{L}F:{\mathrm{D}}_{\bullet }^{\ge 0}\to \mathrm{D}(ℬ)$	왼쪽 초유도 함자 $\mathrm{L}F:ℳ\to 𝒟$

칸 확대를 통한 정의

모형 범주에서는 약한 동치의 모임이 주어진다. 모형 범주에 존재하는 추가 구조 (올뭉치 · 쌍대올뭉치)는 유도 함자를 구체적으로 구성하는 데 간편하지만, 유도 함자를 정의하는 데 필요하지 않다. 따라서, 약한 동치가 주어진 범주에 대하여 유도 함자를 칸 확대의 개념을 사용하여 일반적으로 정의할 수 있다.

약한 동치의 모임이 주어진 범주 $𝒞$ 및 함자 $F:𝒞\to 𝒟$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 약한 동치들에 대한 국소화를 가하여 (범주론적인 문제를 무시하면) 호모토피 범주 $\mathrm{ho}(𝒞)$ 및 포함 함자 $J:𝒞\to \mathrm{ho}(𝒞)$를 정의할 수 있다. 그렇다면, $F$의 왼쪽 유도 함자 $\mathrm{L}F:\mathrm{ho}(𝒞)\to 𝒟$는 (만약 존재한다면) $F$의 $J$에 대한 오른쪽 칸 확대이다.

$\begin{array}{ccc}𝒞& \stackrel{F}{\to }& 𝒟\\ \downarrow & {\mathrm{\backslash color}}_{\mathrm{L}F}{\nearrow }_{\mathrm{L}F}\\ \mathrm{ho}(𝒞)\end{array}$

오른쪽 칸 확대의 보편 성질에 따라서, 임의의 대상 $X\in 𝒞$에 대하여 자연 변환의 성분 $\mathrm{L}F(J(X))\to F(X)$이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은 $X$의 쌍대올 분해 $0\hookrightarrow P\to X$의 상 $F(P)\to F(X)$이다.

마찬가지로, $F$의 오른쪽 유도 함자 $\mathrm{R}F:\mathrm{ho}(𝒞)\to 𝒟$는 (만약 존재한다면) $F$의 $J$에 대한 왼쪽 칸 확대이다. 왼쪽 칸 확대의 보편 성질에 따라서, 임의의 대상 $X\in 𝒞$에 대하여 자연 변환의 성분 $F(X)\to \mathrm{R}F(J(X))$이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은 $X$의 올 분해 $X\to I\twoheadrightarrow \{\bullet \}$의 상 $F(X)\to F(I)$이다.

$\begin{array}{ccc}𝒞& \stackrel{F}{\to }& 𝒟\\ \downarrow & {\mathrm{\backslash color}}_{\mathrm{L}F}{\nearrow }_{\mathrm{L}F}\\ \mathrm{ho}(𝒞)\end{array}$

성질

원래 함자 $F$는 왼쪽 완전 함자라고 가정하였으므로, 단사 분해의 처음 부분

$0\to X^0\to I^0\to I^1$

의 상

$0\to F(X^0)\to F(I^0)\to F(I^1)$

은 완전열이다. 따라서, $F(X^0)\to F(I^0)$은 단사 사상이며,

${\mathrm{R}}^{0}F(X)=\ker (F(I^0)\to F(I^1))=\mathrm{im}(F(X)\to F(I^0))\cong F(X)$

이다. 따라서, 0차 유도 함자는 원래 함자와 자연 동형이다. 즉, $R^{0}F\simeq F$이다.

만약 $X$가 단사 대상이라면, 단사 분해를

$0\to X\to X\to 0$

으로 취할 수 있다. 이 경우, 단사 분해의 상

$0\to F(X)\to F(X)\to 0$

의 호몰로지는 자명하다. 즉, 모든 $i>0$에 대하여 ${\mathrm{R}}^{i}F(X)=0$이고, 단사 대상의 유도 함자에 대한 상은 항상 0이다.

긴 완전열

왼쪽 완전 함자 $F:𝒞\to 𝒟$ 및 $𝒞$의 짧은 완전열

$0\to A\to B\to C\to 0$

이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.

$0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to {\mathrm{R}}^{1}F(A)\to {\mathrm{R}}^{1}F(B)\to {\mathrm{R}}^{1}F(C)\to {\mathrm{R}}^{2}F(A)\to \cdots$

마찬가지로, 오른쪽 완전 함자 $F:𝒞\to 𝒟$ 및 $𝒞$의 짧은 완전열

$0\to A\to B\to C\to 0$

이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.

$\cdots \to {\mathrm{L}}_{2}F(C)\to {\mathrm{L}}_{1}F(A)\to {\mathrm{L}}_{1}F(B)\to {\mathrm{L}}_{1}F(C)\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$

예

흔히 쓰이는 많은 호몰로지 및 코호몰로지 이론들은 유도 함자로서 정의할 수 있다.

적용 대상	함자	완전성 방향	유도 함자
위상 공간 $X$	아벨 군층의 단면 $\Gamma (-,X):\mathrm{Sh}(X;\mathrm{Ab})\to \mathrm{Ab}$	왼쪽 완전 함자	층 코호몰로지 ${\mathrm{R}}^{\bullet }\Gamma (-,X)={\mathrm{H}}^{\bullet }(X,-)$
환 $R$의 왼쪽 가군 $A$	가군 준동형 군 $\mathrm{hom}(A,-):R\text{-Mod}\to \mathrm{Ab}$	왼쪽 완전 함자	Ext 함자 ${\mathrm{R}}^{\bullet }\mathrm{hom}(A,-)={\mathrm{Ext}}^{\bullet }(A,-)$
환 $R$의 왼쪽 가군 $A$	텐서곱 $\otimes A:\text{Mod-}R\to \mathrm{Ab}$	오른쪽 완전 함자	Tor 함자 ${\mathrm{L}}_{\bullet }(\otimes A)={\mathrm{Tor}}_{\bullet }(-,A)$
군 $G$	가군의 불변원 $(-{)}^G:\mathbb{Z}[G]\text{-Mod}\to \mathrm{Ab}$	왼쪽 완전 함자	군 코호몰로지 ${\mathrm{R}}^{\bullet }(-{)}^G={\mathrm{H}}^{\bullet }(G,-)$
군 $G$	가군의 쌍대불변원 $(-{)}_G:\mathbb{Z}[G]\text{-Mod}\to \mathrm{Ab}$	오른쪽 완전 함자	군 호몰로지 ${\mathrm{L}}_{\bullet }(-{)}_G={\mathrm{H}}_{\bullet }(G,-)$
스킴 $X$	에탈 층의 단면 $\Gamma (-):\mathrm{Sh}(\acute{\mathrm{E}}\mathrm{t}/X;\mathrm{Ab})\to \mathrm{Ab}$	왼쪽 완전 함자	에탈 코호몰로지 ${\mathrm{R}}^{\bullet }\Gamma (-)={{\mathrm{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}}^{\bullet }(-)$

외부 링크

• “Derived functor” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Derived functor” (영어). 《nLab》. 
• “Hyper-derived functor” (영어). 《nLab》. 
• “Derived functor in homological algebra” (영어). 《nLab》.