리 대수 아이디얼

리 군론에서 리 대수 아이디얼(Lie代數ideal, 영어: Lie algebra ideal)은 몫을 취할 수 있는 리 대수의 부분 리 대수이다. 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념이다.

정의

가환환 $K$ 위의 리 대수 $(𝔤, [-, -])$ 의 부분 리 대수(部分Lie代數, 영어: Lie subalgebra) $𝔥$ 는 리 괄호에 대하여 닫힌 $K$ -부분 가군이다. 즉, $𝔥 \subset 𝔤$ 이며 $[𝔥, 𝔥] \subset 𝔥$ 이다.

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$ 의 부분 집합 $I \subseteq 𝔤$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 리 대수 아이디얼(영어: Lie algebra ideal)이라고 한다.

$K$ -부분 가군이며, $[𝔤, I] \subseteq I$ 이다.
$\ker ϕ = I$ 인 리 대수 준동형 $ϕ : 𝔤 \to 𝔥$ 가 존재한다.

리 대수 아이디얼에 대하여, 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra) $𝔤 / I$ 를 정의할 수 있다.

리 초대수의 경우

위의 개념들은 리 초대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.

가환환 $K$ 위의 리 초대수 $(𝔤, [-, -})$ 의 부분 리 초대수(部分Lie初代數, 영어: Lie sub-superalgebra) $𝔥 \subseteq 𝔤$ 는 리 초괄호에 대하여 닫힌 $K$ -부분 가군이다. 즉,

[𝔥, 𝔥} \subseteq 𝔥

이다.

가환환 $K$ 위의 리 초대수 $(𝔤, [-, -})$ 의 아이디얼(영어: ideal) $𝔥 \subseteq 𝔤$ 는 다음 조건을 만족시키는 $K$ -부분 가군이다.

$[𝔤, 𝔥} \subseteq 𝔥$

즉, $𝔤 = 𝔤_{0} \oplus 𝔤_{1}$ 이라고 할 때,

$𝔥_{0} \subseteq 𝔤_{0}$ 는 리 대수 $𝔤_{0}$ 의 아이디얼이다.
$𝔥_{1} \subseteq 𝔤_{1}$ 는 $𝔤_{0}$ 의 표현을 이루며 ( $[𝔤_{0}, 𝔥_{1}} \in 𝔥_{1}$ ), 또한 ${𝔤_{1}, 𝔥_{1}} \subseteq 𝔥_{1}$ 을 만족시킨다.

L∞-대수의 경우

위의 개념들은 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.

가환환 $K$ 위의 L∞-대수 $𝔤$ 의 부분 L∞-대수(部分L∞-代數, 영어: L∞-subalgebra) $𝔥 \subseteq 𝔤$ 는 모든 항수의 괄호에 대하여 닫혀 있는, 동차 $K$ -부분 가군이다. 즉,

[\overset{k}{\overset{⏞}{𝔥, 𝔥, \dots, 𝔥}}]_{k} \subseteq 𝔥 (k \in ℤ^{+})

{proj}_{n} (𝔥) \subseteq 𝔥 (n \in ℕ)

이다. 여기서 ${proj}_{n}$ 은 등급 $n$ 의 성분을 취하는 사영 함수이다.

가환환 $K$ 위의 L∞-대수 $𝔤$ 의 아이디얼(영어: ideal) $𝔥 \subseteq 𝔤$ 는 다음 조건을 만족시키는 $K$ -부분 가군이다.

[𝔥, \overset{k}{\overset{⏞}{𝔤, 𝔤, \dots, 𝔤}}]_{k} \subseteq 𝔥 (k \in ℤ^{+})

{proj}_{n} (𝔥) \subseteq 𝔥 (n \in ℕ)

특히, $k = 1$ 일 때 이 조건은

d 𝔥 \subseteq 𝔥

이다. 즉, $𝔥$ 는 $𝔤$ 의 부분 공사슬 복합체를 이룬다.

성질

함의 관계

모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$ 의 부분 집합에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

리 대수 아이디얼 ⊆ 부분 리 대수 ⊆

K

-부분 가군 ⊆ 덧셈 부분군 ⊆ 부분 집합

다른 성질과의 관계

표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수 $𝔤$ 에 대하여, 다음과 같은 성질들이 아이디얼로서 정의된다.

리 대수의 종류	리 대수 아이디얼을 통한 정의
단순 리 대수	정확히 두 개의 아이디얼 (즉, ${0} \neq 𝔤$ )을 가지며, 아벨 리 대수가 아님
반단순 리 대수	아벨 아이디얼은 ${0}$ 밖에 없음
아벨 리 대수	모든 $K$ -부분 가군이 리 대수 아이디얼임
${0}$	정확히 한 개의 아이디얼을 가짐

예

자명한 리 대수 아이디얼

모든 리 대수 $𝔤$ 에 대하여, ${0} \subseteq 𝔤$ 과 $𝔤 \subseteq 𝔤$ 는 (자명하게) $𝔤$ 의 리 대수 아이디얼이다. 이들에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

𝔤 / {0} ≅ 𝔤

𝔤 / 𝔤 ≅ {0}

직합 성분

같은 가환환 위의 두 리 대수 $𝔤$ , $𝔥$ 의 직합 $𝔤 \oplus 𝔥$ 에서, $𝔤 \oplus 0, 0 \oplus 𝔥 \subseteq 𝔤 \oplus 𝔥$ 는 각각 $𝔤 \oplus 𝔥$ 의 리 대수 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

\frac{𝔤 \oplus 𝔥}{𝔤} ≅ 𝔥

\frac{𝔤 \oplus 𝔥}{𝔥} ≅ 𝔤

리 대수 중심

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$ 의 중심(中心, 영어: center) $Z (𝔤)$ 은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.

Z (𝔤) = {x \in 𝔤 : [x, 𝔤] = 0}

이는 아벨 리 대수를 이루며, 항상 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.

유도 리 대수

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$ 가 주어졌을 때, 부분 공간

[𝔤, 𝔤] = {[x_{1}, y_{1}] + \dots + [x_{n}, y_{n}] : n \in ℕ, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n} \in 𝔤} \subseteq 𝔤

는 $𝔤$ 의 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이를 $𝔤$ 의 유도 리 대수(영어: derived Lie algebra)라고 한다.

리 대수 근기

리 대수 근기는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie subalgebra” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Ideal of a Lie algebra” (영어). 《Groupprops》.
“Ideal of a Lie ring” (영어). 《Groupprops》.