쌍곡 치환

미적분학에서 쌍곡 치환(雙曲置換, 영어: hyperbolic substitution)은 쌍곡선 함수를 이용하는 치환 적분 기법의 하나이다.

정의

쌍곡 치환은 삼각 치환과 마찬가지로 완전 제곱꼴의 이차식이 나오는 함수를 적분하는 데 사용되는 기법이다. 구체적으로, 유리 함수 $R(u,v)$ 및 $a>0$이 주어졌을 때, 쌍곡 치환은 다음과 같다.^{:135, Table 10.1}

적분	삼각 치환	쌍곡 치환
$\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})\mathrm{d}x$	$x=a\sin \theta$	$x=a\tanh t$
$\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})\mathrm{d}x$	$x=a\tan \theta$	$x=a\sinh t$
$\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})\mathrm{d}x$	$x=a\sec \theta$	$x=a\cosh t$

더 자세히는 다음과 같다.

적분	쌍곡 치환				사용된 항등식
$\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})\mathrm{d}x$	$x=a\tanh t$	$-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }$	$\sqrt{a^2-x^2}=a\mathrm{sech}t$	$\mathrm{d}x=a{\mathrm{sech}}^{2}t\mathrm{d}t$	$1-{\tanh }^{2}t={\mathrm{sech}}^{2}t$
$\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})\mathrm{d}x$	$x=a\sinh t$	$-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }$	$\sqrt{x^2+a^2}=a\cosh t$	$\mathrm{d}x=a\cosh t\mathrm{d}t$	$1+{\sinh }^{2}t={\cosh }^{2}t$
$\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})\mathrm{d}x$	$x=a\cosh t$ ($x>a$일 경우)	$0<t<\mathrm{\infty }$	$\sqrt{x^2-a^2}=a\sinh t$	$\mathrm{d}x=a\sinh t\mathrm{d}t$	${\cosh }^{2}t-1={\sinh }^{2}t$

예

다음 예시는 쌍곡 치환 $x=a\cosh t$를 사용한다 ($a>0,x>a$).^{:481, Example 5:253, 例6.2.15}

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}$	$=\int \frac{a\sinh t\mathrm{d}t}{a\sinh t}$	( $x=a\cosh t,0<t<\mathrm{\infty },\sqrt{x^2-a^2}=a\sinh t,\mathrm{d}x=a\sinh t\mathrm{d}t$ )
	$=\int \mathrm{d}t$
	$=t+C$
	$=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$	( $t=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|-\ln a$ )

다음 예시는 쌍곡 치환 $x=a\sinh t$를 사용한다 ($a>0$).^{:253, 例6.2.16:27, 例1}

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}$	$=\int \frac{a\cosh t\mathrm{d}t}{a\cosh t}$	( $x=a\sinh t,-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty },\sqrt{x^2+a^2}=a\cosh t,\mathrm{d}x=a\cosh t\mathrm{d}t$ )
	$=\int \mathrm{d}t$
	$=t+C$
	$=\ln |x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$	( $t=\ln |x+\sqrt{x^2+a^2}|-\ln a$ )

다음 예시는 쌍곡 치환 $x=\tanh t$를 사용한다.^{:28, 例3}

$\int \sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x$	$=\int \frac{\mathrm{d}t}{{\cosh }^{3}t}$	( $x=\tanh t,-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty },\sqrt{1-x^2}=\mathrm{sech}t\mathrm{d}x={\mathrm{sech}}^{2}t\mathrm{d}t$ )
	$=\int \frac{\cosh t\mathrm{d}t}{{\cosh }^{4}t}$
	$=\int \frac{\mathrm{d}u}{(u^2+1{)}^2}$	( $u=\sinh t$ )
	$=\int \frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}-\int \frac{u^2}{(u^2+1{)}^2}\mathrm{d}u$
	$=\int \frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}+\frac{1}{2}\int u\mathrm{d}\frac{1}{u^2+1}$
	$=\int \frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}+\frac{1}{2}\frac{u}{u^2+1}-\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}$
	$=\frac{1}{2}\arctan u+\frac{1}{2}\frac{u}{u^2+1}+C$
	$=\frac{1}{2}\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+C$	( $\sinh t=\frac{\tanh t}{\sqrt{1-{\tanh }^{2}t}}$ )
	$=\frac{1}{2}\arcsin x+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+C$

첫째 및 둘째 예시는 쌍곡 치환이 더 간편하며, 셋째 예시는 삼각 치환이 더 간편하다.

응용

쌍곡 치환은 다음과 같은 꼴의 적분에서도 사용된다.

$\int {\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\mathrm{d}x$

여기서 $m,n$은 정수이며, $m+n$은 음의 홀수이다. 다음과 같은 두 가지 방법이 있다.^:141

적분	쌍곡 치환
$\begin{array}{cc}\int {\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\mathrm{d}x& =\int {\sec }^{-(m+n)}x{\tan }^{n}x\mathrm{d}x\\ & =\int {\cot }^{m}x{\csc }^{-(m+n)}x\mathrm{d}x\end{array}$	$\tan x=\sinh t$	$\sec x=\cosh t$ ($-\pi /2<x<\pi /2$일 경우)	$\mathrm{d}x=\mathrm{sech}t\mathrm{d}t$
	$\cot x=\sinh t$	$\csc x=\cosh t$ ($0<x<\pi /2$일 경우)	$\mathrm{d}x=-\mathrm{sech}t\mathrm{d}t$

첫 번째 방법을 사용한 한 가지 예시는 다음과 같다.^{:142, Example 1}

$\begin{array}{cc}\int \sec x\mathrm{d}x& =\int \cosh t\mathrm{sech}t\mathrm{d}t\\ & =\int \mathrm{d}t\\ & =t+C\\ & =\ln (\cosh t+\sinh t)+C\\ & =\ln (\sec x+\tan x)+C\end{array}$

두 번째 방법을 사용한 한 가지 예시는 다음과 같다.^{:142, Example 2}

$\begin{array}{cc}\int {\csc }^{3}x\mathrm{d}x& =-\int {\cosh }^{3}t\mathrm{sech}t\mathrm{d}t\\ & =-\int {\cosh }^{2}t\mathrm{d}t\\ & =-\frac{1}{2}\int (1+\cosh 2t)\mathrm{d}t\\ & =-\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sinh 2t\\ & =-\frac{1}{2}\ln (\cosh t+\sinh t)-\frac{1}{2}\sinh t\cosh t\\ & =-\frac{1}{2}\ln (\csc x+\cot x)-\frac{1}{2}\cot x\csc x\\ & =\frac{1}{2}\ln (\csc x-\cot x)-\frac{1}{2}\cot x\csc x\end{array}$

일부 저서에서는 이를 건서 쌍곡 치환(-雙曲置換, 영어: Gunther's hyperbolic substitutions)이라고 부른다.^{:142, Exercise 11} 이 방법은 찰스 건서(영어: Charles O. Gunther)가 《삼각 및 허수 치환 적분》(영어: Integration by Trigonometric and Imaginary Substitutions)이라는 교재에서 처음 공개하였다.^{:143, Endnote 1}

같이 보기

• 바이어슈트라스 치환#쌍곡선 함수의 경우
• 삼각 치환

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hyperbolic substitution” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.