폐포 (위상수학)

위상수학에서 폐포(閉包, 영어: closure)는 주어진 위상 공간의 부분 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다. 이는 그 부분 집합의 원소와 극한점으로 구성된다. $A$의 폐포는 $\mathrm{cl}A$ 또는 $\overline{A}$와 같이 표기한다. 서로 다른 위상 공간의 부분 집합으로서의 폐포를 구분하기 위해 ${\mathrm{cl}}_{(X,𝒯)}A$ 또는 ${\mathrm{cl}}_{X}A$ 또는 ${\mathrm{cl}}_{𝒯}A$와 같이 쓸 수도 있다. 위상이 거리 함수 $d$로 유도되었을 경우 ${\mathrm{cl}}_{(X,d)}A$ 또는 ${\mathrm{cl}}_{d}A$와 같이 써도 좋다.

정의

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$이 주어졌다고 하자. 점 $x\in X$이 다음 조건을 만족시킨다면, $A$의 폐포점(閉包點, 영어: point of closure)이라고 한다.

• $x$의 모든 근방 $U\ni x$에 대하여, $U\cap A\ne \varnothing$이다.

만약 $x$의 국소 기저 $ℬ$가 주어졌을 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $x$는 $A$의 폐포점이다.
• 모든 $B\in ℬ$에 대하여, $B\cap A\ne \varnothing$이다.

특히, 폐포점의 정의에서 ‘근방’을 ‘열린 근방’으로 대체할 수 있다.

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$의 폐포 $\mathrm{cl}A$는 $A$의 모든 폐포점들의 집합이다.

성질

극한점과의 관계

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$ 및 점 $x\in X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $x$는 $A$의 폐포점이다.
• $x\in A$이거나, $x$는 $A$의 극한점이다.

즉, $A$의 폐포는 $A$와 그 유도 집합의 합집합이다.

$\mathrm{cl}A=A\cup A^{\prime }$

닫힌집합과의 관계

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 닫힌집합이다.
• $\mathrm{cl}A=A$
• $\mathrm{cl}A\subseteq A$
• $A^{\prime }\subseteq A$

반대로, $A$의 폐포는 $A$를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이다. 즉, 이는 $A$를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.

내부·경계와의 관계

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$ 및 점 $x\in X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $x$는 $A$의 폐포점이다.
• $x$는 $A$의 내부점이거나 경계점이다.
• $x$는 $A$의 여집합 $X\setminus A$의 내부점이 아니다.

즉, $A$의 폐포는 $A$의 여집합의 내부의 여집합이며, 또한 $A$의 내부와 경계의 분리 합집합이다.

$\mathrm{cl}A=X\setminus \mathrm{int}(X\setminus A)$

$\mathrm{cl}A=\mathrm{int}A\bigsqcup \partial A$

반대로, $A$의 경계는 $A$와 그 여집합의 폐포의 교집합이다.

$\partial A=\mathrm{cl}A\cap \mathrm{cl}(X\setminus A)$

항등식

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A,B\subseteq X$ 및 집합족 $𝒜$에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.

$\mathrm{cl}\varnothing =\varnothing$

$\mathrm{cl}X=X$

$\mathrm{cl}(A\cup B)=\mathrm{cl}A\cup \mathrm{cl}B$

$\mathrm{cl}(\bigcup 𝒜)\supseteq \bigcup _{A\in 𝒜}\mathrm{cl}A$

$\mathrm{cl}(\bigcap 𝒜)\subseteq \bigcup _{A\in 𝒜}\mathrm{cl}A$

또한, 만약 $𝒜$가 국소 유한 집합족이라면, 다음이 성립한다.

$\mathrm{cl}(\bigcup 𝒜)=\bigcup _{A\in 𝒜}\mathrm{cl}A$

즉, 폐포는 유한 합집합을 보존하며, 보다 일반적으로 국소 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 유한·무한 교집합은 일반적으로 보존하지 않는다.

반례:

표준적인 위상을 갖춘 실수선 $ℝ$ 위에서 다음과 같은 집합들을 생각하자.

$A_n=(1/n,1)(n\in {\mathbb{Z}}^{+})$

$A=(0,1)$

$B=(1,2)$

그렇다면, $A_n$의 합집합 $(0,1)$의 폐포 $[0,1]$는 $A_n$의 폐포 $[1/n,1]$의 합집합 $(0,1]$을 진부분 집합으로 포함한다. 또한, $A$와 $B$의 교집합의 폐포는 공집합이며, 이는 $A$의 폐포 $[0,1]$와 $B$의 폐포 $[1,2]$의 교집합 $\{1\}$의 진부분 집합이다.

예

이산 공간

이산 공간의 부분 집합의 폐포는 항상 자기 자신이다.

비이산 공간

비이산 공간의 공집합이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다.

열린 공

$𝕂\in \{ℝ,ℂ,ℍ\}$에 대하여, (노름 위상을 갖춘) $𝕂$-노름 공간 위의 열린 공

$\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{l}{\mathrm{l}}_{\mathrm{open}}(0,1)=\{v\in V:\Vert v\Vert <1\}$

의 폐포는 닫힌 공

$\mathrm{cl}(\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{l}{\mathrm{l}}_{\mathrm{open}}(0,1))=\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{l}{\mathrm{l}}_{\mathrm{closed}}(0,1)=\{v\in V:\Vert v\Vert \le 1\}$

이다. 일반적인 거리 공간의 경우, 열린 공은 항상 열린집합이며, 닫힌 공은 항상 닫힌집합이지만, 열린 공의 폐포는 그에 대응하는 닫힌 공이 아닐 수 있다. 예를 들어, 이산 거리 공간 $(X,d)$ 위에서, $x$를 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 열린 공과 닫힌 공은 다음과 같다.

$\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{l}{\mathrm{l}}_{\mathrm{open}}(x,1)=\{x\}$

$\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{l}{\mathrm{l}}_{\mathrm{closed}}(x,1)=X$

하지만 열린 공의 폐포는 자기 자신이며, 만약 $|X|\ge 2$인 경우 이는 닫힌 공과 일치하지 않는다.

갈루아 군

갈루아 확대 $L/K$의 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(L/K)$은 사유한군이며, 이 위에 사유한 위상을 줄 수 있다. 이 경우, 임의의 부분군 $H\le \mathrm{Gal}(L/K)$의 폐포는 다음과 같다.

$\mathrm{cl}H=\mathrm{Gal}(L/L^H)$

여기서

$L^H=\{a\in L:h(a)=a\mathrm{\forall }h\in H\}$

는 $H$가 고정하는 체의 원소들로 구성된 부분 확대이다.

균등 공간

(균등 위상을 갖춘) 균등 공간 $(X,ℰ)$의 부분 집합 $A\subseteq X$의 폐포는 $A$의 대칭 측근들에 대한 상들의 교집합과 같다.^{:104, Corollary 8.10}

$\mathrm{cl}A=\bigcap _{E=E^{-1}\in ℰ}\{y:\mathrm{\exists }x\in A:(x,y)\in E\}$

증명:

임의의 측근 $E\in ℰ$에 대하여, $F=E\cap E^{-1}\subseteq E$는 측근이며, $F=F^{-1}$이다. 따라서, 임의의 $y\in X$에 대하여,

$\{\{x:(y,x)\in E\}:E=E^{-1}\in ℰ\}$

은 $x$의 국소 기저를 이룬다. 따라서, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\mathrm{cl}A& =\{y\in X:\mathrm{\forall }E\in ℰ:E=E^{-1}⟹\{x:(y,x)\in E\}\cap A\ne \varnothing \}\\ & =\{y\in X:\mathrm{\forall }E\in ℰ:E=E^{-1}⟹(\mathrm{\exists }x\in A:(y,x)\in E)\}\\ & =\{y\in X:\mathrm{\forall }E\in ℰ:E=E^{-1}⟹(\mathrm{\exists }x\in A:(x,y)\in E)\}\\ & =\bigcap _{E=E^{-1}\in ℰ}\{y:\mathrm{\exists }x\in A:(x,y)\in E\}\end{array}$

스콧 위상

원순서 집합 $(P,\lesssim )$ 위에 스콧 위상을 주었을 때, 한원소 집합의 폐포는 그 하폐포이다.^{:Remark II-1.4}

$\mathrm{cl}\{a\}=\downarrow a$

외부 링크

• “Closure of a set” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Topological closure” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Closure” (영어). 《PlanetMath》.