세르 쌍대성

대수기하학에서 세르 쌍대성(Serre雙對性, 영어: Serre duality)은 복소다양체의 코호몰로지 사이에 존재하는 관계의 하나이다. (실수) 다양체에 존재하는 푸앵카레 쌍대성과 유사하지만, 복소 구조를 사용한다. 장피에르 세르의 이름을 땄다.

정의

미분기하학

다음이 주어졌다고 하자.

• 복소수 $n$차원 (실수 $2n$차원) 콤팩트 에르미트 다양체 $M$

그렇다면, 호지 쌍대에 따라서

$*:{\Omega }^{p,q}(M)\to {\Omega }^{n-q,n-p}(M)$

$*\circ *=(-{)}^{(p+q)(2n-p-q)}=(-{)}^{p+q}$

가 존재한다. 이는 복소수 선형 변환이다. 또한, 복소켤레에 따라서

$\overline{(-)}:{\Omega }^{p,q}(M)\to {\Omega }^{q,p}(M)$

$\overline{(-)}\circ \overline{(-)}=1$

이 존재한다. 이는 실수 선형 변환이지만, 복소수 반선형 변환이다. 이 두 사상은 서로 가환한다.

$\begin{array}{ccc}{\Omega }^{p,q}(M)& \stackrel{*}{\to }& {\Omega }^{n-q,n-p}(M)\\ \overline{(-)}\downarrow \overline{(-)}& & \overline{(-)}\downarrow \overline{(-)}\\ {\Omega }^{q,p}(M)& \to *& {\Omega }^{n-p,n-q}(M)\end{array}$

이제,

$⟨-,-⟩:{\Omega }^{p,q}(M)\times {\Omega }^{p,q}\mapsto ℂ$

$⟨\alpha ,\beta ⟩\mapsto \underset{M}{\int }*\overline{\alpha }\wedge \beta$

를 정의하자. 이는 ${\Omega }^{p,q}(M)$ 위의 에르미트 형식을 정의한다.

$⟨z\alpha ,w\beta ⟩=\overline{z}w⟨\alpha ,\beta ⟩\mathrm{\forall }z,w\in ℂ$

$⟨\alpha ,\beta ⟩=\overline{⟨\beta ,\alpha ⟩}$

이는 일반적으로 양의 정부호가 아니지만, 돌보 코호몰로지로의 몫을 취하면 이는 양의 정부호가 된다. 특히, 이 경우 코호몰로지의 동형

${\mathrm{H}}^{p,q}(M)\cong {\mathrm{H}}^{n-p,n-q}(M{)}^{*}$

이 존재한다. 이를 세르 쌍대성이라고 한다.

보다 일반적으로, 정칙 벡터 다발의 계수를 생각할 수 있다. 즉, 다음이 주어졌다고 하자.

• $M$ 위의 유한 차원 정칙 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$

그렇다면, 그 쌍대 벡터 다발 $E^{*}\twoheadrightarrow M$을 정의할 수 있다.

이 경우, 마찬가지로

${\Omega }^q(M;E)\times {\Omega }^{n-q}(M;{\Omega }^n{\otimes }_{ℂ}{E}^{*})\to ℂ$

$(\alpha ,\beta )\mapsto \underset{M}{\int }\alpha \wedge \beta$

가 존재한다. 여기서

${\Omega }^n={\bigwedge }^n{\mathrm{T}}^{*}M$

은 $M$의 표준 선다발이다.

이는 복소수 쌍선형 함수를 이루며, 마찬가지로 층 코호몰로지를 취하면 비퇴화이다. 즉, 복소수 벡터 공간의 동형 사상

${\mathrm{H}}^q(M;E{)}^{*}\cong {\Omega }^{n-q}(M;{\Omega }^n{\otimes }_{ℂ}{E}^{*})$

이 존재한다. 이를 $E$ 계수의 세르 쌍대성이라고 한다.

푸앵카레 쌍대성은 코호몰로지류를 기본류 $[M]$에 대하여 축약시켜 얻지만, 세르 쌍대성은 코호몰로지류를 표준 선다발 $K$에 대하여 축약시켜 얻는다.

대수기하학

더 일반적으로, 세르 쌍대성을 일반적인 연접층에 대하여 정의할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자.

• 대수적으로 닫힌 체 $k$
• $k$ 위의 순수하게 $n$차원 사영 스킴 $X$
• $X$의 사영 공간으로의 매장 $X\hookrightarrow {\mathbb{P}}_k^m$. 그 여차원이 $r=m-n$이라고 하자.

그렇다면, $X$의 쌍대화층(영어: dualizing sheaf)

${\omega }_X={\underset{\_}{\mathrm{Ext}}}_{{𝒪}_{{\mathbb{P}}_k^m}}^r({𝒪}_X,{\omega }_{{\mathbb{P}}^m})$

을 정의할 수 있다.

이에 따라서, 다음과 같은 표준적인 동형 사상들이 존재한다.

${\mathrm{Ext}}^{n-q}(ℱ,{\omega }_X)\cong {\mathrm{H}}^q(M,ℱ{)}^{*}$

여기서 ${\mathrm{H}}^{n-q}{}^{*}=\mathrm{hom}(H^{n-q},k)$는 쌍대 공간이고, Ext는 Ext 함자다.

예

리만 곡면

$\Sigma$가 콤팩트 리만 곡면이라고 하고, $L\twoheadrightarrow \Sigma$이 그 위의 정칙 선다발이라고 하자. 그렇다면, 이 경우

${\mathrm{H}}^i(\Sigma ;L)=0\mathrm{\forall }i\ge 2$

이며, 세르 쌍대성에 따라서

${\mathrm{H}}^1(\Sigma ;L)\cong {\mathrm{H}}^0(\Sigma ;K_{\Sigma }{\otimes }_{ℂ}{L}^{-1})$

${\mathrm{H}}^0(\Sigma ;L)\cong {\mathrm{H}}^1(\Sigma ;K_{\Sigma }{\otimes }_{ℂ}{L}^{-1})$

이다. 여기서 $K_{\Sigma }={\mathrm{T}}^{*}\Sigma$는 $\Sigma$의 표준 선다발이다.

칼라비-야우 다양체

칼라비-야우 다양체의 경우 표준 선다발이 자명하므로 다음과 같은 관계를 유추할 수 있다.

$h^{p,q}=h^{p,n-q}$

여기서 $h^{p,q}={\dim }_{ℂ}{\mathrm{H}}^q(M,{\Omega }^p)$는 호지 수이다.

같이 보기

• 푸앵카레 쌍대성

참고 문헌

• Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

외부 링크

• “Duality” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Serre duality” (영어). 《nLab》. 
• Siegel, Charles (2008년 5월 29일). “Serre duality” (영어). 《Rigorous Trivialities》.