렙셰츠 수

일반위상수학에서 렙셰츠 수(Лефшец數, 영어: Lefschetz number)는 콤팩트 공간 위의 연속 자기 함수의 호모토피류에 대응되는 유리수 값의 불변량이다. 렙셰츠 수가 0이 아닌 경우, 렙셰츠 고정점 정리(Лефшец固定點定理, 영어: Lefschetz fixed-point theorem)에 따르면 함수는 고정점을 갖는다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X$. 또한, 그 모든 베티 수와 코호몰로지 차원이 유한하다고 하자.
• 연속 함수 $f:X\to X$

그렇다면, $f$에 의하여 특이 코호몰로지에 대한 군 준동형이 유도된다.

$f_{*}^{(n)}:{\mathrm{H}}^n(X;\mathbb{Z})\to {\mathrm{H}}^n(X;\mathbb{Z})(n\in \mathbb{N})$

특히, 유리수 계수를 취하면, 다음과 같은 유리수 선형 변환을 얻는다.

$f_{*}^{(n)}\otimes \mathbb{Q}:{\mathrm{H}}^n(X;\mathbb{Q})\to {\mathrm{H}}^n(X;\mathbb{Q})(n\in \mathbb{N})$

$f$의 렙셰츠 수 $\mathrm{Lef}f$는 다음과 같은 대각합들의 합인 유리수이다.

$\mathrm{Lef}f=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\mathrm{tr}(f_{*}^{(n)}\otimes \mathbb{Q})\in \mathbb{Q}$

성질

렙셰츠 고정점 정리에 따르면, 만약

• $X$가 콤팩트 단체 복합체이며,
• $\mathrm{Lef}f\ne 0$이라면,

$f$는 고정점을 갖는다. 즉, $f(x)=x$인 $x\in X$가 존재한다.

그러나 그 역은 성립하지 않을 수 있다.

렙셰츠-호프 정리

만약

• $X$가 $n$차원 콤팩트 다양체이며,
• $f$가 오직 유한 개의 고정점을 갖는다고 하자.

$f$의 고정점들의 집합을 $\mathrm{Fix}(f)\subseteq X$라고 하자. $x_0\in \mathrm{Fix}f$에 대하여, 항상 다음 조건들을 만족시키는 두 근방 $U\ni x_0$, $V\ni x_0$을 찾을 수 있다.

• $U$와 $V$는 $n$차원 열린 공과 위상 동형이다.
• $f(V)\subseteq U$이다.
• $U\cap \mathrm{Fix}f=V\cap \mathrm{Fix}f=\{x_0\}$
• $\mathrm{\forall }x\in V\setminus \{x_0\}:f(x)\ne x_0$

로 가정할 수 있다. 이 경우, 다음 함수

$f\upharpoonright (V\setminus \{x_0\}):V\setminus \{x_0\}\to U\setminus \{x_0\}$

를 생각하자. 정의역과 공역 둘 다 초구 ${𝕊}^{n-1}$와 동치이므로, 호모토피류 ${\varphi }_{x_0}:(U\setminus \{x_0\}\simeq {𝕊}^{n-1})\to (U\setminus \{x_0\}\simeq {𝕊}^{n-1})$를 정의할 수 있다. $X$에 임의의 방향을 주었을 때, ${\varphi }_{x_0}$의 브라우어르 차수 $\mathrm{deg}{\varphi }_{x_0}\in \mathbb{Z}$를 정의할 수 있다.

렙셰츠-호프 정리(영어: Lefschetz–Hopf theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

$\sum _{x\in \mathrm{Fix}(f)}\mathrm{deg}{\varphi }_x=\mathrm{Lef}f\in \mathbb{Z}$

특히, 이 경우 렙셰츠 수는 항상 정수임을 알 수 있다.

예

만약 $f$가 항등 함수라면 그 렙셰츠 수는 $X$의 오일러 지표이다.

$\mathrm{Lef}f=\chi (X)$

렙셰츠 정리의 역에 대한 반례

원 ${𝕊}^1\cong ℝ/(\mathrm{\forall }x:x\sim x+1)$ 위의 항등 함수 $f:x\mapsto x$를 생각하자. 이는 물론 연속 함수이며, 무한히 많은 고정점을 갖는다. 그러나 임의의 $\theta \in ℝ\setminus \mathbb{Z}$에 대하여 $x\mapsto x+\theta$는 항등 함수와 호모토픽하지만 고정점을 갖지 않는다. 즉, 고정점을 갖는지 여부는 호모토피 불변량이 아니며, 이 호모토피류의 렙셰츠 수는 0이다.

역사

솔로몬 렙셰츠가 도입하였다. 렙셰츠-호프 정리는 하인츠 호프가 증명하였다.

외부 링크

• “Lefschetz number” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lefschetz formula” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lefschetz fixed point theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lefschetz trace formula” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Lefschetz trace formula” (영어). 《nLab》. 
• “Grothendieck-Lefschetz trace formula” (영어). 《nLab》.