선형 푸아송 다양체

리 군론에서 선형 푸아송 다양체(線型Poisson多樣體, 영어: linear Poisson manifold)는 성분이 선형인 푸아송 다양체의 구조를 갖춘 벡터 공간이다. 이는 항상 유한 차원 실수 리 대수의 쌍대 공간의 꼴이다. 그 심플렉틱 잎들은 쌍대딸림표현 궤도(雙對딸림表現軌道, 영어: coadjoint orbit)라고 하는데, 일부 경우 리 대수의 기약 유니터리 표현에 대응하며, 이러한 표현들은 심플렉틱 잎의 기하학적 양자화로 얻어진다. 이 경우, 키릴로프 지표 공식(Кириллов指標公式, 영어: Kirillov character formula)에 따라서, 군 표현의 지표는 심플렉틱 잎의 부피를 나타내는 분포의 푸리에 변환으로 주어진다.

정의

유한 차원 실수 벡터 공간 $V$ 위에 푸아송 다양체 구조 $\{-,-\}$가 주어졌으며, 다음과 같은 꼴이라고 하자.

$\{f,g\}(x)=x^i{f}_i{}^{jk}{\partial }_{j}f{\partial }_{k}f$

그렇다면, 쌍대 공간 $V^{*}$ 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 부여할 수 있다.

$[t^j,t^k]=\sum _i{f}_i{}^{jk}{t}^i$

반대로, 유한 차원 실수 리 대수 $(𝔤,[,])$가 주어졌을 때, 그 쌍대 공간 ${𝔤}^{*}$ 위에 다음과 같은 푸아송 다양체 구조를 정의하자. 임의의 $f,g\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}({𝔤}^{*};ℝ)$ 및 $x\in {𝔤}^{*}$에 대하여,

$\{f,g\}(x)=x([\mathrm{d}f(x),\mathrm{d}g(x)])$

여기서

$\mathrm{d}f(x),\mathrm{d}g(x)\in {\mathrm{T}}_x^{*}{𝔤}^{*}\cong 𝔤$

이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다.

즉, 선형 푸아송 구조가 주어진 벡터 공간의 개념은 유한 차원 실수 리 대수(의 쌍대 공간)와 일대일 대응한다. 이러한 꼴의 푸아송 다양체를 선형 푸아송 다양체라고 한다.

성질

심플렉틱 잎 (쌍대딸림표현 궤도)

리 지수 사상에 따라 $𝔤=𝔩𝔦𝔢(G)$가 되는 단일 연결 리 군 $G$를 정의할 수 있다. 그렇다면, ${𝔤}^{*}$는 물론 리 군 $G$의 표현

${\mathrm{Ad}}_G^{*}:G\to \mathrm{GL}({𝔤}^{*})$

을 갖춘다. 구체적으로, 임의의 $g\in G$ 및 $x\in {𝔤}^{*}$에 대하여,

${\mathrm{Ad}}_G^{*}(g)x:𝔤\to ℝ$

${\mathrm{Ad}}_G^{*}(g)x:\xi \mapsto x({\mathrm{Ad}}_G(g^{-1})\xi )$

이다. 여기서 ${\mathrm{Ad}}_G:G\to \mathrm{GL}(𝔤)$는 딸림표현이다.

${𝔤}^{*}$의 심플렉틱 잎들은 ${𝔤}^{*}$ 속의, $G$의 작용에 대한 궤도에 해당한다. 이를 쌍대딸림표현 궤도(영어: coadjoint orbit)라고 한다.

멱영군의 경우

$G$가 연결 단일 연결 멱영 리 군이라고 하자. 그렇다면, $G$의 유니터리 기약 표현들의 집합은 $𝔩𝔦𝔢(G{)}^{*}$의 쌍대딸림궤도들의 집합과 표준적으로 일대일 대응을 갖는다. 구체적으로, 어떤 쌍대딸림궤도 $X$가 주어졌다고 하자. 이는 심플렉틱 다양체이며, 기하학적 양자화를 통해 $G$의 유니터리 표현을 갖는 복소수 힐베르트 공간을 구성할 수 있는데, 이것이 쌍대딸림궤도에 대응하는 유니터리 기약 표현이다.

또한, 이 경우 표현 $\rho$의 지표는 $X$의 부피 형식의 (분포로서의) 푸리에 변환으로 주어진다.

콤팩트 군의 경우

$G$가 연결 단일 연결 콤팩트 리 군이라고 하자. 그렇다면, $G$의 쌍대딸림표현 궤도들은 $G$의 바일 방의 점과 일대일 대응한다.

콤팩트 리 군의 경우, 다음과 같은 지표 공식이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 리 대수 (반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합) $𝔤$
• $𝔤$의 카르탕 부분 대수 $𝔥$
• $𝔥$의 양근 집합 $\{{\alpha }^1,\dots ,{\alpha }^{\dim 𝔤/2}\}\subseteq {𝔥}^{*}$
• 기약 표현 $\pi :𝔤\to 𝔤𝔩(V)$
• $\pi$의 최고 무게 $\lambda \in {𝔥}^{*}$

그렇다면,

$\rho =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{\dim 𝔤/2}{\alpha }^i$

가 모든 양근의 합의 절반이라고 하자. 궤도

$\mathrm{Orbit}(\lambda +\rho )\subseteq {𝔤}^{*}$

는 심플렉틱 다양체를 이루며, 따라서 그 위에 심플렉틱 형식의 거듭제곱인 부피 형식 ${\mu }_{\lambda +\rho }$가 존재한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

$(\det (\mathrm{D}\exp {|}_{\xi }){)}^{1/2}{\mathrm{tr}}_V\pi (\exp \xi )=\underset{\mathrm{Orbit}(\lambda +\rho )}{\int }\exp (\mathrm{i}⟨x|\xi ⟩){\mu }_{\lambda +\rho }$

여기서

• $\det (\mathrm{D}\exp {|}_{\xi })=\sinh (\mathrm{ad}(\xi /2))/\mathrm{ad}(\xi /2)$는 리 지수 사상 $𝔤\to G$의, $\xi \in 𝔤$에서의 야코비 행렬 $\mathrm{D}\exp {|}_{\xi }\in {𝔤}^{*}\otimes {\mathrm{T}}_{\exp \xi }G$의 행렬식이다.

고리 리 대수

단일 연결 반단순 리 군 $G$의 리 대수 $𝔤$를 생각하자. 그렇다면, 매끄러운 함수로 구성된 고리 공간

$\mathrm{L}G={𝒞}^{\mathrm{\infty }}({𝕊}^1,G)$

은 표준적인 프레셰 다양체 구조를 갖는다. 이에 대응되는 프레셰 공간인 리 대수

$\mathrm{L}𝔤={𝒞}^{\mathrm{\infty }}({𝕊}^1,𝔤)$

를 생각하자. (그 위의 리 괄호는 점별로 리 괄호를 취한 것이다.) 푸리에 변환을 통하여

$𝔤\otimes ℂ[z,z^{-1}]\subseteq \mathrm{L}𝔤$

이며, 우변은 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 간주할 수 있다.

원 ${𝕊}^1$은 평행화 가능 다양체이므로, 그 방향을 골라

$\mathrm{L}𝔤\cong {\Omega }^1({𝕊}^1;{𝔤}^{*})$

으로 놓을 수 있다. 또한, $𝔤$의 킬링 형식을 사용하여 ${𝔤}^{*}\cong 𝔤$이므로

$(\mathrm{L}𝔤{)}^{*}\cong {\Omega }^1({𝕊}^1;𝔤)$

이다. 이 공간

$(\mathrm{L}𝔤{)}^{*}={\Omega }^1({𝕊}^1;𝔤)$

은 원 위의 자명한 $G$-주다발의 주접속의 공간으로 해석할 수 있다. 이 경우, $\mathrm{L}G$는 원 위의 게이지 변환군으로 해석할 수 있으며, 선형 푸아송 다양체 $\mathrm{L}{𝔤}^{*}$ 위의 작용은 게이지 변환에 해당한다. 즉, 그 심플렉틱 잎들은 원 위의 자명한 주다발의 주접속의 게이지 변환 동치류들의 공간 $G//G$이다.

예

아벨 리 군

아벨 리 대수 $𝔤$를 생각하자. 그렇다면, ${𝔤}^{*}$ 위의 푸아송 다양체 구조는 상수 함수 0이며, 그 심플렉틱 잎은 모두 한원소 공간이다.

구체적으로,

$𝔤={ℝ}^n$

이라고 하자. 이에 대응하는 단일 연결 리 군 $G={ℝ}^n$은 (자명하게) 멱영 리 군이다. 이는 아벨 군이므로, 그 유니터리 기약 표현은 모두 1차원이며, 다음과 같은 꼴이다.

$(t^1,\dots ,t^n)\cdot z\mapsto \exp (\mathrm{i}{\alpha }_1{t}^1+\mathrm{i}{\alpha }_2{t}^2+\cdots +\mathrm{i}{\alpha }_n{t}^n)z$

이 기약 표현은 점 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)\in {𝔤}^{*}$으로 구성된 한원소 공간인 심플렉틱 잎에 대응된다. 그 지표

${\chi }_{({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)}(t_1,\dots ,t_n)=\exp (\mathrm{i}{\alpha }_1{t}^1+\cdots +\mathrm{i}{\alpha }_n{t}^n)$

는 부피 형식($({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$에서의 디랙 델타)의 푸리에 변환이다.

SU(2)

$𝔤=𝔬(3)$(3차원 직교군의 리 대수)라고 하자. 이는 3차원 벡터 공간이다. ($𝔤$가 반단순 리 대수이므로, 킬링 형식 $B(-,-)$에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같은 꼴이다.

${𝕊}_r^2=\{v\in 𝔤:|B(v,v)|=r^2\}(r\in [0,\mathrm{\infty }))$

즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름 $r$의 구이다. 이는 $\mathrm{SU}(2)$의 바일 방인 반직선과 일대일 대응한다.

$r>0$일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, $r=0$일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다. 2차원 심플렉틱 잎의 심플렉틱 형식은 구면 좌표계 $(r,\theta ,\varphi )$에서

${\omega }_r=\frac{r}{2\pi }\sin \theta \mathrm{d}\varphi \wedge \mathrm{d}\theta$

이다. 즉, 구면의 넓이 원소에 비례한다.

이 경우, 최고차 무게는 스핀이며, 양의 정수 × ½의 꼴이다. 유일한 양근은 $1\in ℝ$에 해당하며, $\rho =1/2$이다.

이 경우, 스핀 $\lambda \in \{1/2,1,3/2,2,\dots \}$에 대하여,

$\mathrm{Orbit}(\lambda +\rho )=\{x\in {ℝ}^3:\Vert x\Vert =\lambda +1/2\}$

이며,

$\underset{\Vert x\Vert =2\lambda +1/2}{\int }\exp (\mathrm{i}⟨x,\xi ⟩){\omega }_{\lambda +1/2}=\frac{\lambda +1/2}{2\pi }\underset{0}{\overset{2}{\int }}\pi \mathrm{d}\varphi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\mathrm{d}\theta \sin \theta \exp (2\mathrm{i}\xi (\lambda +1/2)\cos \theta )=\frac{\sin ((2\lambda +1)\xi )}{\xi }$

이다.

여기서 정적분

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \theta \exp (\mathrm{i}r\cos \theta )=\frac{2\sin r}{r}$

을 사용하였다.

이 경우, 야코비안은

$\det \mathrm{D}\exp {|}_{\mathrm{diag}(\mathrm{i}\xi ,-\mathrm{i}\xi )}=\frac{\sin \xi }{\xi }$

이다.

즉, 스핀 $\lambda$에 대응하는 군 표현의 지표는 다음과 같다.

$\mathrm{tr}\lambda (\mathrm{diag}(\exp (\mathrm{i}\xi ),\exp (-\mathrm{i}\xi )))=\frac{\sin ((2\lambda +1)\xi )}{\sin \xi }$

사실, 스핀 $\lambda$의 차원의 경우, 표현의 대각선의 성분은 구체적으로

$\mathrm{tr}\lambda (\mathrm{diag}(\exp (\mathrm{i}\xi ),\exp (-\mathrm{i}\xi )))=\exp (2\mathrm{i}\lambda )\xi )+\exp (2\mathrm{i}(\lambda -1)\xi )+\cdots +\exp (-2\mathrm{i}\lambda \xi )$

가 된다. 이 경우, 기하 급수의 합을 취하면 키릴로프 지표 공식이 성립하는 것을 확인할 수 있다.

하이젠베르크 군

단일 연결 멱영 리 군인 하이젠베르크 군

$\mathrm{Heis}(3;ℝ)=\{\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right):a,b,c\in ℝ\}$

을 생각하자. 그 실수 리 대수는 다음과 같은 꼴의 행렬로 구성된다.

$𝔥𝔢𝔦𝔰(3;ℝ)=\{\left(\begin{array}{ccc}0& a& c\\ 0& 0& b\\ 0& 0& 0\end{array}\right):a,b,c\in ℝ\}$

3×3 실수 행렬의 공간 위에 내적

$⟨X|Y⟩=\mathrm{tr}(XY)$

을 사용한다면, $𝔥𝔢𝔦𝔰(3;ℝ)$의 쌍대 공간은 3×3 실수 행렬의 내적 공간 $\mathrm{Mat}(3;ℝ)$ 속에서 다음과 같은 직교 여공간으로 표현된다.

$𝔥𝔢𝔦𝔰(3;ℝ{)}^{\perp }=\{\left(\begin{array}{ccc}0& x& y\\ 0& 0& z\\ 0& 0& 0\end{array}\right):x,y,z\in ℝ\}=\{M\in \mathrm{Mat}(3;ℝ):\mathrm{tr}($

이 위의 쌍대딸림표현은 다음과 같다.

${\mathrm{ad}}^{*}\left(\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\right):\left(\begin{array}{ccc}0& x& y\\ 0& 0& z\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}0& x-ay& y\\ 0& 0& z+by\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

따라서, 그 궤도(심플렉틱 잎)는 다음 두 종류가 있다.

• $y=0$인 점은 군의 작용의 고정점이다. 이 경우, 심플렉틱 잎은 0차원이다. 이는 $\mathrm{Heis}(3;ℝ)$의 표현 가운데, 아벨 몫군 $ℝ\times ℝ$의 표현으로 유도되는 것에 해당한다.
• $y\ne 0$일 때, 궤도는 $(ℝ,y,ℝ)$의 꼴이다. 즉, 심플렉틱 잎은 2차원이며, 그 위의 심플렉틱 형식 $\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z/y$은 2차원 유클리드 부피 형식에 비례한다. 이는 $\mathrm{Heis}(3;ℝ)$의 표현 가운데, 메타플렉틱 표현에 해당한다. 이 경우, $y$는 메타플렉틱 표현을 결정하는 중심 원소의 값에 대응한다.

역사

선형 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎과 기약 표현 사이의 관계는 알렉산드르 알렉산드로비치 키릴로프(러시아어: Алекса́ндр Алекса́ндрович Кири́ллов, 1936〜)가 1961년에 발견하였다.

외부 링크

• “Orbit method” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Coadjoint representation” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “linear Poisson structure” (영어). 《nLab》. 
• “coadjoint orbit” (영어). 《nLab》. 
• “coadjoint action” (영어). 《nLab》. 
• “orbit method” (영어). 《nLab》. 
• Woit, Peter. “Topics in representation theory: The moment map and the orbit method” (PDF) (영어). 
• Jolany, Hassan. “Geometric quantization on coadjoint orbits” (PDF) (영어). 
• Beraldo, Dario. “Character formulas” (PDF) (영어). 
• Meinrenken, Eckhard (2017). “Introduction to Poisson geometry” (PDF) (영어).