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소리테스 역설

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소리테스 역설: 한 덩어리에서 모래 한 알씩을 제거했을 때, 정확히 어느 시점에서 더 이상 덩어리로 간주되지 않는가?

소리테스 역설(Sorites paradox, /soʊˈr[미지원 입력]ɪtiːz/),[1] 때때로 모래 더미 역설로 알려져 있는데, 모호한 서술어에서 비롯되는 역설이다.[2] 전형적인 공식화는 모래 더미를 개별적으로 제거하는 것을 포함한다. 모래 한 알을 제거하는 것이 더미로 간주되지 않게 하지 않는다는 가정하에, 역설은 이 과정이 충분히 반복되어 모래 한 알만 남았을 때 그것이 여전히 더미인지 아닌지를 고려하는 것이다. 만약 그렇지 않다면, 더미에서 더미가 아닌 것으로 바뀐 시점이 언제인지 묻는다.[3]

원래의 공식화

소리테스(sorites, 고대 그리스어: σωρείτης)라는 단어는 그리스어로 더미를 뜻하는 단어(σωρός, 고대 그리스어: σωρός)에서 유래한다.[4] 이 역설은 밀레토스의 에우불리데스에게 귀속되는 원래의 특징 때문에 그렇게 이름 지어졌다.[5] 역설은 다음과 같다: 모래 알갱이가 개별적으로 제거되는 모래 더미를 생각해 보자. 다음과 같은 전제에서 논증을 구성할 수 있다.[3]

1,000,000개의 모래 알갱이는 모래 더미이다 (전제 1)
모래 더미에서 한 알갱이를 빼도 여전히 더미이다. (전제 2)

전제 2의 반복된 적용(매번 한 알갱이씩 적게 시작)은 결국 더미가 단지 한 알갱이의 모래로 구성될 수 있다는 결론을 받아들이게 한다.[6] 리드(1995)는 "이 논증 자체는 전건 긍정 단계의 더미, 즉 소리테스이다"라고 언급한다.[7]

1,000,000개의 알갱이는 더미이다.
만약 1,000,000개의 알갱이가 더미라면 999,999개의 알갱이도 더미이다.
따라서 999,999개의 알갱이는 더미이다.
만약 999,999개의 알갱이가 더미라면 999,998개의 알갱이도 더미이다.
따라서 999,998개의 알갱이는 더미이다.
만약 ...
... 따라서 1개의 알갱이는 더미이다.

모래 한 알은 모래 더미로 간주되지 않는다.[8] 따라서 이 논증은 타당해 보이고 전제도 그럴듯하지만, 거짓 결론을 가지므로, 널리 받아들여지는(그러나 보편적으로는 아닌) "역설"의 학문적 정의에 따르면 역설이 된다.[9][10][11]

변형

섬네일을 만드는 중 오류 발생:
소리테스 역설을 보여주는 색상 그라데이션, 인접한 색상들은 육안으로 구별할 수 없다.

소리테스 역설에는 많은 변형이 있으며, 그중 일부는 "존재하는 것"과 "보이는 것", 즉 사실의 문제와 인식의 문제 사이의 차이를 고려할 수 있게 한다.[2] 이는 각 변화가 "인지할 수 없을 때" 논증이 좌우될 때 관련성이 있는 것으로 보일 수 있다.

또 다른 공식화는 더미가 아닌 것이 분명한 모래 한 알에서 시작하여, 더미가 아닌 것에 모래 한 알을 추가해도 그것이 더미가 되지 않는다고 가정하는 것이다. 귀납적으로, 이 과정은 더미를 만들지 않고도 원하는 만큼 반복될 수 있다.[2][3] 이 변형에 대한 더 자연스러운 공식화는 인접한 두 칩의 색상 차이가 인간의 시력으로 구별하기에는 너무 작도록 색상 칩 세트가 존재한다고 가정하는 것이다. 그러면 이 전제에 대한 귀납에 의해 인간은 어떤 색상도 구별할 수 없을 것이다.[2]

바다에서 한 방울을 제거해도 "바다가 아니게" 되지 않지만(여전히 바다이다), 바다의 수량은 유한하므로, 결국 충분히 제거한 후에는 1리터의 물만 남아도 여전히 바다이다.

이 역설은 "키가 큰", "부유한", "늙은", "파란색", "대머리" 등 다양한 서술어에 대해 재구성될 수 있다. 대머리에 관한 버전은 한 가닥의 머리카락을 추가해도 대머리 남자가 더 이상 대머리가 아니게 되지 않는다고 주장하는데, 이는 그리스어로 "대머리"(φαλακρός)를 뜻하는 "팔라크로스"로 알려져 있다.[12][13] 버트런드 러셀은 모든 자연어, 심지어 논리적 연결사조차 모호하다고 주장했다. 게다가 명제의 표현도 모호하다.[14]

일반적인 조건부 소리테스

역설적인 소리테스 논증의 공식적인 일반화는 다음과 같다.[15]

Fa1.
만약 Fa1이면, Fa2이다.
만약 Fa2이면, Fa3이다.
⋮
만약 Fan−1이면, Fan이다.
∴Fan‾ (n은 임의로 커질 수 있다)

이 형식화는 1차 논리에 있으며, 여기서 F는 서술어이고 a1,a2,a3,…,an은 그것이 적용될 수 있는 다른 주어들이다. 각 주어 ai에 대해, Fai 표기법은 서술어 F를 ai에 적용하는 것을 의미한다. 즉, "ai는 F이다"라는 명제이다. (조너선 반스는 원래 각 "만약 Fan이면 Fan+1이다"라는 명제를 실질 조건문 연결사 ⊃를 사용하여 표현했으며, 따라서 그의 논증은 원래 Fan−1⊃Fan으로 끝났다.)[16]

조너선 반스는 이 일반적인 형태의 논증이 소리테스적이기 위한 조건을 발견했다.[16] 첫째, 계열 ⟨a1,...,an⟩은 정렬되어야 한다. 예를 들어, 더미는 모래 알갱이 수에 따라 정렬될 수 있거나, 팔라크로스 버전(== 변형 == 참조)에서는 머리카락 수에 따라 정렬될 수 있다. 둘째, 서술어 F는 계열 ⟨a1,...,an⟩에 대해 소리테스적이어야 하는데, 이는 다음과 같은 의미이다: 첫째, 계열의 첫 번째 항목인 a1에 대해서는 모든 면에서 참으로 보인다. 둘째, 계열의 마지막 항목인 an에 대해서는 모든 면에서 거짓으로 보인다. 셋째, 계열의 모든 인접한 주어 쌍, ai와 ai+1은 모든 면에서 F에 관하여 구별할 수 없을 정도로 유사하게 보인다. 즉, ai와 ai+1 둘 다 F를 만족하거나 둘 다 만족하지 않는 것처럼 보여야 한다.

서술어에 대한 이 마지막 조건은 크리스핀 라이트가 서술어의 작은 변화 정도에 대한 관용성이라고 불렀던 것이며, 그가 서술어의 모호함의 조건으로 여겼다.[17] 라이트가 말했듯이, ϕ가 서술어 F와 관련된 개념이라고 가정할 때, "F가 특징짓는 모든 개체는 ϕ에 대한 충분한 변화만으로 특징짓지 않는 개체로 바뀔 수 있다"면, "F는 ϕ에 대해 관용적이다. 만약 ϕ에 대한 어떤 긍정적인 정도의 변화가 특정 경우에 F가 적용되는 정의에 영향을 미치기에는 불충분하다면."[17]

제안된 해결책

더미의 존재 부정

첫 번째 전제에 반대하여 1,000,000개의 모래 알갱이가 더미를 만든다는 것을 부정할 수 있다. 그러나 1,000,000은 임의의 큰 숫자일 뿐이며, 논증은 그러한 어떤 숫자에도 적용될 것이다. 따라서 이 반응은 더미와 같은 것이 전혀 존재하지 않는다고 전적으로 부정해야 한다. 피터 응거는 이 해결책을 옹호한다.[18] 그러나 A. J. 에이어는 응거가 제시했을 때 이를 부인했다: "만약 우리가 모든 것을 원자로 구성된 것으로 간주하고, 응거를 세포가 아닌 세포를 구성하는 원자로 구성된 것으로 생각한다면, 데이비드 위긴스가 나에게 지적했듯이, 유사한 논증이 응거가 존재하지 않는다는 것과는 거리가 멀고 존재하는 모든 것과 동일하다는 것을 증명하는 데 사용될 수 있다. 우리는 응거의 몸에서 원자 하나를 빼는 것이 그의 존재에 아무런 차이도 만들지 않는다는 전제를, 원자 하나를 더하는 것도 아무런 차이도 만들지 않는다는 전제로 대체하기만 하면 된다."[19]

고정된 경계 설정

역설에 대한 일반적인 첫 번째 반응은 특정 수 이상의 알갱이를 가진 어떤 모래 알갱이 세트를 더미로 부르는 것이다. 만약 "고정된 경계"를 10,000개의 알갱이로 정의한다면, 10,000개 미만일 때는 더미가 아니며, 10,000개 이상일 때는 더미라고 주장할 것이다.[20]

콜린스는 그러한 해결책이 만족스럽지 않다고 주장한다. 왜냐하면 9,999개의 알갱이와 10,000개의 알갱이 사이에는 거의 의미 있는 차이가 없어 보이기 때문이다. 경계는 어디에 설정되든 임의적이며, 따라서 그 정밀성은 오해의 소지가 있다. 이는 철학적, 언어적 관점에서 모두 반대할 만하다. 전자는 임의성 때문이고 후자는 단순히 자연어가 사용되는 방식이 아니라는 이유 때문이다.[21]

알 수 없는 경계 (또는 인식론적 접근)

티모시 윌리엄슨[22][23][24]과 로이 소렌슨은 고정된 경계가 존재하지만 필연적으로 알 수 없다고 주장한다.[25]

초평가론

초평가론은 비지시적인 특정 항과 모호성을 다루는 방법이다. 이는 정의되지 않은 진릿값을 다룰 때에도 일반적인 항진식 법칙을 유지할 수 있게 한다.[26][27][28][29] 비지시적인 특정 항에 대한 명제의 예는 "페가수스는 감초를 좋아한다"는 문장이다. "페가수스"라는 이름이 지시하지 못하므로, 문장에 진릿값을 할당할 수 없다. 신화에는 그러한 할당을 정당화할 만한 것이 아무것도 없다. 그러나 "페가수스는 감초를 좋아하거나 페가수스는 감초를 좋아하지 않는다"와 같이 페가수스에 대한 일부 진술은 그럼에도 불구하고 명확한 진릿값을 가진다. 이 문장은 항진식 "p∨¬p", 즉 유효한 스키마 "p이거나 not-p이다"의 한 예이다. 초평가론에 따르면, 그 구성 요소가 진릿값을 가지는지 여부와 상관없이 참이어야 한다.

정의되지 않은 진릿값을 가진 문장을 허용함으로써, 초평가론은 모래 n 알갱이가 모래 더미이지만, n − 1 알갱이는 아닌 것과 같은 인접한 경우를 피한다. 예를 들어, "1,000개의 모래 알갱이는 더미이다"는 정의된 진릿값이 없는 경계 사례로 간주될 수 있다. 그럼에도 불구하고, 초평가론은 "1,000개의 모래 알갱이는 더미이거나 1,000개의 모래 알갱이는 더미가 아니다"와 같은 문장을 항진식으로 처리할 수 있다. 즉, 그 문장에 참의 값을 할당할 수 있다.

수학적 설명

언어 L의 모든 원자 명제에 대해 정의된 고전적 평가를 v라고 하고, x에 있는 서로 다른 원자 명제의 수를 At(x)라고 하자. 그러면 모든 문장 x에 대해, 최대 2At(x)개의 서로 다른 고전적 평가가 존재할 수 있다. 초평가 V는 문장에서 진릿값으로의 함수이며, 문장 x는 모든 고전적 평가 v에 대해 v(x)=True일 때 그리고 그 때에만 초참(즉 V(x)=True)이다. 마찬가지로 초거짓의 경우도 같다. 그렇지 않으면, V(x)는 정의되지 않는다. 즉, v(x)=True이고 v′(x)=False인 두 고전적 평가 v와 v′이 있을 때이다.

예를 들어, "페가수스는 감초를 좋아한다"의 형식적인 번역을 Lp라고 하자. 그러면 Lp에는 v(Lp)=True와 v′(Lp)=False라는 두 가지 고전적 평가가 정확히 존재한다. 따라서 Lp는 초참도 초거짓도 아니다. 그러나 항진식 Lp∨¬Lp는 모든 고전적 평가에 의해 True로 평가된다. 따라서 초참이다. 유사하게, 위의 더미 명제 H1000의 형식화는 초참도 초거짓도 아니지만, H1000∨¬H1000은 초참이다.

진릿값 간격, 과잉, 다치 논리

또 다른 방법은 다치 논리를 사용하는 것이다. 이 맥락에서 문제는 이치 원리에 있다: 모래는 회색 음영 없이 더미이거나 더미가 아니다. 두 가지 논리적 상태(더미와 더미 아님) 대신, 더미, 불확정, 더미 아님과 같은 세 가지 값 시스템을 사용할 수 있다. 이 제안된 해결책에 대한 반론은 세 가지 값 시스템이 더미와 불확정 사이, 그리고 불확정과 더미 아님 사이에 여전히 경계선이 존재하므로 역설을 진정으로 해결하지 못한다는 것이다. 세 번째 진릿값은 진릿값 간격 또는 진릿값 과잉으로 이해될 수 있다.[30]

대안으로, 퍼지 논리는 실수 단위 구간 [0,1]에 표현된 연속적인 논리적 상태 스펙트럼을 제공한다. 이것은 무한히 많은 진릿값을 가진 다치 논리이며, 따라서 모래는 "확실히 더미"에서 "확실히 더미 아님"으로 점진적으로 전환되며, 중간 영역에는 음영이 있다. 퍼지 헤지(fuzzy hedge)는 연속체를 확실히 더미, 주로 더미, 부분적으로 더미, 약간 더미, 더미 아님과 같은 범주에 해당하는 영역으로 나눈다.[31][32] 그러나 이러한 경계가 어디에서 발생하는지에 대한 문제는 여전히 남아 있다. 예를 들어, 몇 개의 알갱이에서 모래가 확실히 더미가 되기 시작하는가?

이력 현상

래프먼이 도입한[33] 또 다른 방법은 이력 현상을 사용하는 것이다. 즉, 모래 더미가 무엇으로 시작되었는지에 대한 지식을 이용하는 것이다. 동일한 양의 모래라도 어떻게 그 상태에 도달했는지에 따라 더미라고 불릴 수도 있고 아닐 수도 있다. (논란의 여지 없이 더미라고 설명되는) 큰 더미가 천천히 줄어들면, 실제 모래의 양이 더 적은 수의 알갱이로 줄어들더라도 특정 지점까지는 "더미 상태"를 유지한다. 예를 들어, 500개의 알갱이는 쌓인 것이고 1,000개의 알갱이는 더미이다. 이러한 상태들에는 중첩이 있을 것이다. 따라서 더미에서 쌓인 것으로 줄어들 때, 750까지는 더미로 간주될 것이다. 그 시점에서 더미라고 부르기를 멈추고 쌓인 것이라고 부르기 시작할 것이다. 그러나 알갱이 하나를 추가하면 즉시 더미로 돌아가지 않을 것이다. 늘어날 때는 900개의 알갱이까지 쌓인 것으로 남아있을 것이다. 선택된 숫자는 임의적이다. 중요한 점은, 동일한 양이라도 변화 전의 상태에 따라 더미 또는 쌓인 것이 될 수 있다는 것이다. 이력 현상의 일반적인 사용 예는 에어컨의 온도 조절 장치이다. 에어컨이 77 °F로 설정되면 공기를 77 °F 바로 아래로 냉각하지만, 공기가 77.001 °F로 따뜻해질 때 즉시 다시 작동하지 않는다. 계속해서 즉각적인 상태 변화를 방지하기 위해 거의 78 °F까지 기다린다.[34]

집단 합의

합의에 호소함으로써 더미라는 단어의 의미를 확립할 수 있다. 윌리엄슨은 역설에 대한 그의 인식론적 해결책에서 모호한 용어의 의미는 집단적 사용에 의해 결정되어야 한다고 가정한다.[35] 합의 방법은 일반적으로 모래 알갱이의 집합이 "더미"라고 믿는 사회 집단 내 사람들의 비율만큼 "더미"라고 주장한다. 다시 말해, 어떤 집합이 더미로 간주될 확률은 집단 의견 분포의 기댓값이다.

집단은 다음과 같이 결정할 수 있다:

  • 모래 한 알 자체는 더미가 아니다.
  • 많은 모래 알갱이의 집합은 더미이다.

두 극단 사이에서, 집단의 개별 구성원들은 특정 집합이 "더미"로 분류될 수 있는지 여부에 대해 서로 의견이 다를 수 있다. 그러면 그 집합은 "더미" 또는 "더미 아님"으로 확실하게 주장될 수 없다. 이는 규범 언어학보다는 기술 언어학에 호소하는 것으로 간주될 수 있는데, 이는 인구가 자연어를 사용하는 방식에 따라 정의 문제를 해결하기 때문이다. 실제로 "더미"에 대한 정확한 규범적 정의가 가능하다면 집단 합의는 항상 만장일치일 것이고 역설은 발생하지 않는다.

효용 이론에서의 해결책

"X는 Y보다 더 붉거나 같은 정도로 붉다"
준전이적 관계로 모델링됨
≈ : 구별할 수 없음, > : 명확히 더 붉음
Y
X
 f10 e20 d30 c40 b50 a60
f10 ≈ ≈ > > > >
e20 ≈ ≈ ≈ > > >
d30 ≈ ≈ ≈ > >
c40 ≈ ≈ ≈ >
b50 ≈ ≈ ≈
a60 ≈ ≈

경제학 분야인 효용 이론에서, 소리테스 역설은 개인의 선호 패턴이 조사될 때 발생한다. 로버트 던컨 루스의 예시처럼, 그녀의 커피에 설탕 3g(1각설탕)을 15g(5각설탕)보다 선호하는 사람, 예를 들어 페기를 찾는 것은 쉽지만, 그녀는 보통 3.00g과 3.03g 사이, 3.03g과 3.06g 사이, 그리고 14.97g과 15.00g 사이에서는 무관심할 것이다.[36]

이러한 상황에서 소리테스 역설을 피하기 위해 경제학자들은 두 가지 조치를 취했다.

  • 비교급 형태의 속성이 원급 형태 대신 사용된다. 위 예시에서는 "페기는 설탕 3g이 든 커피를 좋아한다" 또는 "페기는 설탕 15g이 든 커피를 좋아하지 않는다"와 같은 진술을 의도적으로 하지 않는다. 대신 "페기는 설탕 15g이 든 커피보다 설탕 3g이 든 커피를 더 좋아한다"고 진술한다.[40]
  • 경제학자들은 선호("페기는 ...보다 ...을 더 좋아한다")와 무관심("페기는 ...와 ...을 같은 정도로 좋아한다")을 구별하며, 후자의 관계가 전이적이라고 보지 않는다.[42] 위 예시에서 "설탕 xg이 든 커피 한 잔"을 "cx"로, "페기는 cx와 cy 사이에 무관심하다"를 "cx ≈ cy"로 줄이면, c3.00 ≈ c3.03과 c3.03 ≈ c3.06과 ... 그리고 c14.97 ≈ c15.00라는 사실이 c3.00 ≈ c15.00을 의미하지는 않는다.

선호와 무관심을 소리테스 역설에 빠지지 않고 설명하기 위해 여러 종류의 관계가 도입되었다. 루스는 준순서를 정의하고 그 수학적 속성을 조사했으며,[36] 아마르티아 센은 준전이적 관계에 대해 유사한 작업을 수행했다.[43] "페기는 cy보다 cx를 더 좋아한다"를 "cx > cy"로 줄이고, "cx > cy 또는 cx ≈ cy"를 "cx ≥ cy"로 줄이면, ">" 관계는 준순서이고 ≥ 관계는 준전이적이라고 보는 것이 합리적이다. 반대로, 주어진 준순서 >로부터 cx > cy도 아니고 cy > cx도 아닌 경우 cx ≈ cy로 정의하여 무관심 관계 ≈를 재구성할 수 있다. 마찬가지로, 주어진 준전이적 관계 ≥로부터 cx ≥ cy이고 cy ≥ cx인 경우 cx ≈ cy로 정의하여 무관심 관계 ≈를 재구성할 수 있다. 이러한 재구성된 ≈ 관계는 일반적으로 전이적이지 않다.

오른쪽 표는 위의 색상 예시를 준전이적 관계 ≥로 모델링하는 방법을 보여준다. 가독성을 위해 색상 차이는 과장되었다. 색상 X는 행 X와 열 Y의 표 셀이 비어 있지 않으면 색상 Y보다 더 붉거나 같은 정도로 붉다고 한다. 이 경우, 셀에 "≈"가 있다면 X와 Y는 구별할 수 없을 정도로 같아 보이며, ">"가 있다면 X는 Y보다 명확히 더 붉어 보인다. 관계 ≥는 대칭 관계 ≈와 전이 관계 >의 분리합집합이다. >의 전이성을 사용하여, f10 > d30과 d30 > b50 둘 다의 지식으로부터 f10 > b50을 추론할 수 있다. 그러나 ≥는 전이적이지 않으므로, "d30 ≥ e20이고 e20 ≥ f10이므로, d30 ≥ f10"과 같은 "역설적인" 추론은 더 이상 불가능하다. 같은 이유로, 예를 들어 "d30 ≈ e20이고 e20 ≈ f10이므로, d30 ≈ f10"은 더 이상 유효한 추론이 아니다. 유사하게, 이 접근법으로 역설의 원래 더미 변형을 해결하려면, "X개의 알갱이는 Y개의 알갱이보다 더미에 가깝다"는 관계를 전이적이라기보다는 준전이적으로 간주할 수 있다.

연속체 오류

연속체 오류(continuum fallacy, 'fallacy of the beard', 'line-drawing fallacy'도 이리로 넘어옴)[44][45](일명 수염의 오류 또는 경계선 설정의 오류, 또는 결정 지점 오류[46])는 소리테스 역설과 관련된 비형식적 오류이다. 두 오류 모두 원하는 만큼 정확하지 않다는 이유만으로 모호한 주장을 잘못 거부하게 만든다. 모호성만으로는 반드시 무효함을 의미하지 않는다. 이 오류는 두 상태 또는 조건 사이에 상태의 연속체가 존재하기 때문에 그 둘을 구별할 수 없거나 아예 실존하지 않는다고 주장하는 것이다.

엄밀히 말하면, 소리테스 역설은 많은 이산적인 상태(고전적으로 1개에서 1,000,000개의 모래 알갱이 사이, 따라서 1,000,000개의 가능한 상태)가 있는 상황을 가리키는 반면, 연속체 오류는 온도와 같이 상태의 연속체가 존재(하거나 존재하는 것처럼 보이는)하는 상황을 가리킨다.

연속체 오류의 목적을 위해, 사실 연속체가 존재한다고 가정하지만, 이는 일반적으로 사소한 구별이다. 일반적으로 소리테스 역설에 대한 어떤 논증도 연속체 오류에 대해서도 사용될 수 있다. 이 오류에 대한 한 가지 논증은 간단한 반례: 대머리인 사람과 대머리가 아닌 사람이 존재한다는 사실에 기반한다. 또 다른 논증은 상태의 각 변화 정도에 따라 조건의 정도가 약간씩 변하며, 이러한 약간의 변화가 축적되어 상태를 한 범주에서 다른 범주로 전환시킨다는 것이다. 예를 들어, 쌀알 하나를 추가하면 전체 쌀 그룹이 "약간 더" 더미가 되고, 충분한 약간의 변화가 그룹의 더미 상태를 확정할 수 있다. – 퍼지 논리를 참조하라.

같이 보기

각주

  1. ↑ “Sorites”. 《Omnilexica》. 2018년 9월 20일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 3월 14일에 확인함. 
  2. ↑ 가 나 다 라 Barker, C. (2009). 〈Vagueness〉. Allan, Keith (편집). 《Concise Encyclopedia of Semantics》. Elsevier. 1037쪽. ISBN 978-0-08-095968-9. 
  3. ↑ 가 나 다 Sorensen, Roy A. (2009). 〈sorites arguments〉. Jaegwon Kim; Sosa, Ernest; Rosenkrantz, Gary S. (편집). 《A Companion to Metaphysics》. John Wiley & Sons. 565쪽. ISBN 978-1-4051-5298-3. 
  4. ↑ Bergmann, Merrie (2008). 《An Introduction to Many-Valued and Fuzzy Logic: Semantics, Algebras, and Derivation Systems》. New York, NY: 케임브리지 대학교 출판부. 3쪽. ISBN 978-0-521-88128-9. 
  5. ↑ (Barnes 1982), (Burnyeat 1982), (Williamson 1994)
  6. ↑ Dolev, Y. (2004). 《Why Induction Is No Cure For Baldness》. 《Philosophical Investigations》 27. 328–344쪽. doi:10.1111/j.1467-9205.2004.t01-1-00230.x. 
  7. ↑ Read, Stephen (1995). Thinking About Logic, p.174. Oxford. ISBN 019289238X.
  8. ↑ Thorsrud, Harald (2014년 12월 5일). 《Ancient Scepticism》 (영어). Routledge. 63쪽. ISBN 978-1-317-49283-2. 
  9. ↑ Sainsbury, R. M. (2009년 2월 19일). 《Paradoxes》 (영어). Cambridge University Press. 1쪽. ISBN 978-0-521-89632-0. This is what I understand by a paradox: an apparently unacceptable conclusion derived by apparently acceptable reasoning from apparently acceptable premises. 
  10. ↑ Bunnin, Nicholas; Yu, Jiyuan (2009년 1월 27일). 《The Blackwell Dictionary of Western Philosophy》 (영어). John Wiley & Sons. 503쪽. ISBN 978-1-4051-9112-8. 
  11. ↑ Cuonzo, Margaret (2014년 2월 14일). 《Paradox》 (영어). MIT Press. 6–7쪽. ISBN 978-0-262-32140-2. 
  12. ↑ Dzhafarov, Ehtibar N.; Perry, Lacey (2014년 11월 1일). 《Perceptual matching and sorites: experimental study of an ancient Greek paradox》 (영어). 《Attention, Perception, & Psychophysics》 76. 2442쪽. doi:10.3758/s13414-014-0711-6. ISSN 1943-393X. 
  13. ↑ Weiss, Stephen E. (1976). 《The Sorites Fallacy: What Difference Does a Peanut Make?》. 《Synthese》 33. 253–272쪽. ISSN 0039-7857. 
  14. ↑ Russell, Bertrand (June 1923). 《Vagueness》. 《The Australasian Journal of Psychology and Philosophy》 1. 84–92쪽. doi:10.1080/00048402308540623. ISSN 1832-8660. 2009년 11월 18일에 확인함.  샬리지의 1995년 전자 텍스트는 archive.org와 WebCite에 아카이브되어 있다.
  15. ↑ Ronzitti, Giuseppina (2011년 3월 3일). 《Vagueness: A Guide》 (영어). Springer Science & Business Media. 4쪽. ISBN 978-94-007-0375-9. 
  16. ↑ 가 나 Barnes, Jonathan; Brunschwig, J. (2005년 11월 10일). 《Science and Speculation》 (영어). Cambridge University Press. 30–31쪽. ISBN 978-0-521-02218-7. 
  17. ↑ 가 나 Keefe, Rosanna; Smith, Peter (1996). 《Vagueness: A Reader》 (영어). MIT Press. 156–157쪽. ISBN 978-0-262-11225-3. 
  18. ↑ Unger, Peter (1979). 《There Are No Ordinary Things》. 《Synthese》 41. 117–154쪽. doi:10.1007/bf00869568. JSTOR 20115446. S2CID 46956605. 
  19. ↑ Ayer, A.J. (1979). 《Perception and identity: Essays presented to A. J. Ayer, With His Replies.》. Ithica, NY: Cornell University Press. 324쪽. 
  20. ↑ Collins 2018, 32쪽.
  21. ↑ Collins 2018, 35쪽.
  22. ↑ Williamson, Timothy (1992). 《Inexact Knowledge》. 《Mind》 101. 218–242쪽. doi:10.1093/mind/101.402.217. JSTOR 2254332. 
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  40. ↑ 비교급 형태는 지금까지 조사된 모든 경제학 출판물에서 발견되었다.[37][38][39] 분명히 이는 효용 이론에서 조사 대상의 특성에서 비롯된다.
  41. ↑ Wallace E. Armstrong (Sep 1939). 《The Determinateness of the Utility Function》. 《Economic Journal》 49. 453–467쪽. doi:10.2307/2224802. JSTOR 2224802. 
  42. ↑ 암스트롱(1948)에 따르면, 무관심은 선호 이론에서 전이적이라고 간주되었으나,[37]:2 후자는 1939년에 바로 이 이유로 이의가 제기되었고,[41]:463 효용 이론으로 대체되었다.
  43. ↑ Sen, Amartya (1969). 《Quasi-transitivity, rational choice and collective decisions》. 《The Review of Economic Studies》 36. 381–393쪽. doi:10.2307/2296434. JSTOR 2296434. Zbl 0181.47302. 
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  46. ↑ “Chapter Summary”. 

참고 문헌

외부 링크

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