티호노프 공간

위상 공간의 분리공리
T0	콜모고로프 공간
T1
T2	하우스도르프 공간
T2½	우리손 공간
완전 T2½	완비 하우스도르프 공간
T3	정칙 하우스도르프 공간
T3½	티호노프 공간
T4	정규 하우스도르프 공간
T5	완비 정규 하우스도르프 공간
T6	완전 정규 하우스도르프 공간

일반위상수학에서 티호노프 공간(Тихонов空間, 영어: Tychonoff space) 또는 T_3½ 공간(영어: T_3½ space)은 점과 닫힌집합을 연속 함수로 분리할 수 있는 하우스도르프 공간이며, 이는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 공간인 조건과 동치이다.

정의

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 완비 정칙 공간(完備正則空間, 영어: completely regular space)이라고 한다.

• (점과 닫힌집합의 실함수를 통한 분리) 임의의 닫힌집합 $C\subseteq X$ 및 $x\in X\setminus C$에 대하여, $f(x)=0$이며 $f(C)=\{1\}$인 연속 함수 $f:X\to [0,1]$이 존재한다.^:231
• $X$의 위상은 어떤 연속 함수들의 집합 $ℱ\subseteq 𝒞(X,ℝ)$에 대한 시작 위상이다.^{:40, Theorem 3.6–3.7:48, Exercise 1.5.E, (a)}
• $X$의 위상은 연속 함수의 집합 $𝒞(X,ℝ)$에 대한 시작 위상이다.^{:40, Theorem 3.6}
• $X$의 위상은 유계 연속 함수의 집합 ${𝒞}_{\text{bd}}(X;ℝ)$에 대한 시작 위상이다.^{:40, Theorem 3.6}
• (균등화 가능성 영어: uniformizability) $X$ 위에 그 위상과 호환되는 균등 공간 구조가 존재한다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 티호노프 공간이라고 한다.

• $X$는 콜모고로프 공간이며 완비 정칙 공간이다.
• $X$는 T₁ 공간이며 완비 정칙 공간이다.^:231
• $X$는 하우스도르프 공간이며 완비 정칙 공간이다.
• $X$는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.^:231
• $X$는 콤팩트 하우스도르프 공간의 조밀 집합과 위상 동형이다.^:231
• $X$는 $[0,1{]}^{𝒞(X,[0,1])}$의 부분 집합과 위상동형이다.^:231 여기서 $𝒞(X,Y)$는 $X$에서 $Y$로 가는 연속 함수들의 집합이며, $[0,1{]}^{𝒞(X,[0,1])}$는 표준 위상을 부여한 단위 구간 $[0,1]$의 $|𝒞(X,[0,1])|$개 만큼의 곱공간이다. 이는 티호노프 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
• $X$에서 그 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta X$로 가는 연속 함수 $\iota :X\to \beta X$에 대하여, $X$는 그 상과 위상 동형이다.
• $X$ 위에, 그 위상과 호환되는 하우스도르프 균등 공간 구조가 존재한다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^:231–232

정규 하우스도르프 공간(T₄) ⊊ 티호노프 공간(T_3½) ⊊ (정칙 하우스도르프 공간(T₃) ∩ 완비 하우스도르프 공간)

완비 정칙 공간의 부분 공간은 완비 정칙 공간이다. 완비 정칙 공간의 임의 개수 곱공간은 완비 정칙 공간이다.^:141:211 하우스도르프 공간의 부분 공간과 곱공간은 하우스도르프 공간이므로, 티호노프 공간의 부분 공간과 임의 개수 곱공간 역시 티호노프 공간이다.

증명:

완비 정칙 공간 $X$와 그 부분 공간 $Y\subseteq X$가 주어졌다고 하자. 닫힌집합 $C\subseteq Y$ 및 $y\in Y\setminus F$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $C=F\cap Y$인 닫힌집합 $F\subseteq X$가 존재하며, 이에 대하여 $f(y)=0$, $f(F)=\{1\}$인 연속 함수 $f:X\to [0,1]$이 존재한다. $g=f\upharpoonright Y$라고 하자. 그렇다면 $g$는 연속 함수이며, $g(y)=0$ 및 $g(C)=\{1\}$을 만족시킨다.

완비 정칙 공간들의 집합 $\{X_i{\}}_{i\in I}$가 주어졌다고 하자. 곱공간 $X=\prod _{i\in I}{X}_i$의 닫힌집합 $C$ 및 $x\in X\setminus C$가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 $x$의 열린 근방 $\prod _{i\in I}{U}_i$를 취하자.

$x\in \prod _{i\in I}{U}_i\subseteq X\setminus C$

$U_i\in \mathrm{Open}(X_i)$

$U_i=X_i\mathrm{\forall }i\in I\setminus \{i(1),\dots ,i(n)\}$

그렇다면 각 $j\in \{1,\dots ,n\}$에 대하여, $f_j(x_{i(j)})=0$, $f_j(X_{i(j)}\setminus U_{i(j)})=\{1\}$인 연속 함수 $f_j:X_{i(j)}\to [0,1]$이 존재한다.

$g:X\to [0,1]$

$g:y\mapsto 1-(1-f_1(y_{i(1)}))\cdots (1-f_n(y_{i(n)}))$

라고 하자. 그렇다면 $g$는 연속 함수이며, $g(x)=0$ 및 $g(C)=\{1\}$을 만족시킨다.

예

티호노프 공간이 아닌 정칙 완비 하우스도르프 공간

티호노프 공간이 아닌 정칙 (완비) 하우스도르프 공간의 구성은 복잡한 편이다. 한 가지 간단한 구성은 다음과 같다. 집합

$X=\{(0,-1)\}\cup ℝ\times [0,\mathrm{\infty })$

위에 각 점이 다음과 같은 국소 기저를 갖는 위상을 주자.

• 모든 $(x,y)\in ℝ\times (0,\mathrm{\infty })$은 고립점이다 (즉, $\{(x,y)\}$는 $(x,y)$의 열린 근방이다).
• $(x,0)\in ℝ\times \{0\}$ 및 유한 집합 $F$에 대하여, $(\{x\}\times [0,2]\cup \{(x+y,y):y\in [0,2]\})\setminus F$는 $(x,0)$의 열린 근방이다.
• $n\in \mathbb{N}$에 대하여, $\{(0,-1)\}\cup [n,\mathrm{\infty })\times ℝ$는 $(0,-1)$의 열린 근방이다.

그렇다면, $X$는 하우스도르프 공간이며, 완비 하우스도르프 공간이며, 정칙 공간이지만, 티호노프 공간이 아니다.^{:40, Example 1.5.9}

증명:

$X$가 하우스도르프 공간임은 정의에 따라 쉽게 확인할 수 있다. 완비 하우스도르프 조건을 확인하기 위해, 서로 다른 두 점 $(x,y),(x^{\prime },y^{\prime })\in X$가 주어졌다고 하자. 편의상 $(x,y)\ne (0,-1)$이라고 하자. 하우스도르프 조건에 따라, $U$와 $V$가 $(x,y)$와 $(x^{\prime },y^{\prime })$의 서로소 국소 기저 원소라고 하자. 그렇다면, $U$는 열린닫힌집합이다. 따라서, 지시 함수 $1_U:X\to [0,1]$은 연속 함수이며, $(x,y)$와 $(x^{\prime },y^{\prime })$을 분리한다.

이제, $X$의 정칙성을 확인하자. $(x,y)\in ℝ\times [0,\mathrm{\infty })$의 국소 기저 원소들은 열린닫힌집합이므로, 임의의 $(x,y)\in ℝ\times [0,\mathrm{\infty })$는 이를 포함하지 않는 닫힌집합과 서로소 근방을 통해 분리된다. 따라서, $(0,-1)$과 $(0,-1)\in ̸F$인 임의의 닫힌집합 $F$를 서로소 근방으로 분리하는 것으로 충분하다.

$(\{(0,-1)\}\cup [n,\mathrm{\infty }))\cap F=\varnothing$

인 $n\in \mathbb{N}$을 취하자. 그렇다면

$U=\{(0,-1)\}\cup [n+2,\mathrm{\infty })\times ℝ$

$V=X\setminus (\{(0,-1)\}\cup [n+2,\mathrm{\infty })\times ℝ\cup [n,n+2]\times \{0\})$

는 각각 $(0,-1)$와 $F$의 열린 근방이며, $U\cap V=\varnothing$이다.

이제, $X$가 티호노프 공간이 아님을 보이자. $[0,1]\times \{0\}$은 닫힌집합이며, $(0,-1)\in ̸[0,1]\times \{0\}$이다. $f([0,1]\times \{0\})=\{0\}$인 연속 함수 $f:X\to ℝ$가 항상 $f((0,-1))=0$을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 각 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $K_n=f^{-1}(0)\cap ([n,n+1]\times \{0\})$이 무한 집합임을 보이는 것으로 충분하다. 수학적 귀납법을 사용하여, 가산 무한 집합 $C\subseteq K_n$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 $(c,0)\in C$에 대하여,

$\{(c+y,y):y\in [0,2]\}\setminus f^{-1}(0)=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\{(c+y,y):y\in [0,2]\}\setminus f^{-1}((-1/i,1/i))$

는 가산 개의 유한 집합의 합집합이므로 가산 집합이다. $C$가 가산 집합이므로,

$P=\{(x,0):(x,y)\in \bigcup _{c\in C}\{(c+y,y):y\in [0,2]\}\setminus f^{-1}(0)\}$

은 가산 집합이며, $([n+1,n+2]\times \{0\})\setminus P$는 무한 집합이다. 임의의 $(x,0)\in ([n+1,n+2]\times \{0\})\setminus P$ 및 $(c,0)\in C$에 대하여, $\{x\}\times [0,2]$와 $\{(c+y,y):y\in [0,2]\}$의 교점은 $f^{-1}(0)$에 속한다. $C$가 무한 집합이므로, $(x,0)$의 모든 근방은 $f^{-1}(0)$의 점을 포함한다. $f$의 $(x,0)$에서의 연속성에 따라 $f((x,0))=0$이다. 즉, $([n+1,n+2]\times \{0\})\setminus P\subseteq K_{n+1}$이며, $K_{n+1}$은 무한 집합이다.

정규 공간이 아닌 티호노프 공간

니미츠키 평면(영어: Niemytzki plane)은 닫힌 상반평면 $ℝ\times [0,\mathrm{\infty })$ 위에, 그 통상적인 열린집합들과 다음과 같은 꼴의 집합들을 기저로 하는 위상을 부여한 위상 공간이다.

$\{x\}\cup \mathrm{ball}(x+(0,ϵ),ϵ)(x\in ℝ\times \{0\},ϵ>0)$

즉, 추가된 열린집합들은 상반평면의 경계선에 접하는 (통상적인 거리 함수에 대한) 열린 원판과 그 접점의 합집합들이다.

니미츠키 평면은 티호노프 공간이며, 모든 닫힌집합이 G_δ 집합이지만, 정규 공간이 아니다.^{:101, 82.2–82.3:41, Example 1.5.10; 48, Exercise 1.5.H, (a)}

증명:

니미츠키 평면이 하우스도르프 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 완비 정칙 조건을 확인하자. 위상 공간의 부분 기저 $𝒮$가 주어졌을 때, 완비 정칙 조건은 임의의 $S\in 𝒮$와 $s\in S$에 대하여, $s$와 $S$의 여집합이 실함수를 통해 분리되는 것과 동치이다. $ℝ\times [0,\mathrm{\infty })$는 통상적인 위상을 주었을 때 티호노프 공간이며, 니미츠키 평면의 위상은 통상적인 위상보다 섬세하므로, 모든 통상적인 열린집합의 점과 그 여집합은 실함수를 통해 분리된다. 임의의 $x\in ℝ\times \{0\}$ 및 $ϵ>0$에 대하여, $y\in \mathrm{ball}(x+(0,ϵ),ϵ)$과 $ℝ\times [0,\mathrm{\infty })\setminus \mathrm{ball}(x+(0,ϵ),ϵ)$이 실함수를 통해 분리되므로, $y$와 $ℝ\times [0,\mathrm{\infty })\setminus (\{x\}\cup \mathrm{ball}(x+(0,ϵ),ϵ))$ 역시 같은 실함수를 통해 분리된다. 따라서, 임의의 $x\in ℝ\times \{0\}$ 및 $ϵ>0$에 대하여,

$f(x)=0$

$f(ℝ\times [0,\mathrm{\infty })\setminus (\{x\}\cup \mathrm{ball}(x+(0,ϵ),ϵ)))=\{1\}$

인 연속 함수

$f:ℝ\times [0,\mathrm{\infty })\to [0,1]$

를 찾으면 충분하다. 편의상 $x=0$이라고 하자. 그렇다면,

$f:y\mapsto 1/\inf \{t\in [1,\mathrm{\infty }):ty\in ̸\{0\}\cup \mathrm{ball}((0,ϵ),ϵ)\}$

는 원하는 조건을 만족시킨다.

이제, 니미츠키 평면의 열린집합 $U\subseteq ℝ\times [0,\mathrm{\infty })$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $U\cap (ℝ\times (0,\mathrm{\infty }))$는 $ℝ\times (0,\mathrm{\infty })$의 열린집합이며, 따라서 가산 개의 (통상적 거리 함수에 대한) 열린 공들의 합집합이다. 각 열린 공은 가산 개의 닫힌 공들의 합집합이며, 닫힌 공은 니미츠키 평면의 닫힌집합이므로, $U\cap (ℝ\times (0,\mathrm{\infty }))$는 F_σ 집합이다. $ℝ\times \{0\}$의 모든 부분 집합은 니미츠키 평면의 닫힌집합이며, 특히 $U\cap (ℝ\times \{0\})$은 닫힌집합이다. 따라서 $U$는 F_σ 집합이다.

이제, 니미츠키 평면이 정규 공간이 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여, 니미츠키 평면이 정규 공간이 아니라고 가정하자. 임의의 $A\subseteq ℝ\times \{0\}$가 주어졌다고 하자. $A$와 $(ℝ\times \{0\})\setminus A$는 모두 닫힌집합이므로, 서로소 열린 근방 $U_A$와 $V_A$를 갖는다. 함수

$𝒫(ℝ\times \{0\})\to 𝒫(\mathbb{Q}\times ((0,1)\cap \mathbb{Q}))$

$A\mapsto U_A\cap (\mathbb{Q}\times ((0,1)\cap \mathbb{Q}))$

를 생각하자. $A,B\subseteq ℝ\times \{0\}$이며 $A\setminus B\ne \varnothing$이라고 하자. 그렇다면, $A\setminus B\subseteq U_A\cap V_B$이며, $\mathbb{Q}\times ((0,1)\cap \mathbb{Q})$가 조밀 집합이므로,

$\varnothing \ne U_A\cap V_B\cap (\mathbb{Q}\times ((0,1)\cap \mathbb{Q}))\subseteq (U_A\cap (\mathbb{Q}\times ((0,1)\cap \mathbb{Q})))\setminus (U_B\cap (\mathbb{Q}\times ((0,1)\cap \mathbb{Q})))$

이다. 이에 따라, 위 함수는 단사 함수이며,

$2^{2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}=|𝒫(ℝ\times \{0\})|\le |𝒫(\mathbb{Q}\times ((0,1)\cap \mathbb{Q}))|=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$

이다. 이는 모순이다.

역사

안드레이 티호노프의 이름이 붙어 있다.

같이 보기

• 우리손 공간
• 정칙 공간
• 정규 공간

외부 링크

• “Tikhonov space” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Tychonoff space” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Completely regular space” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Tychonoff space” (영어). 《nLab》. 
• “Is Mysior's example completely Hausdorff?”. 《Stack Exchange》. 2022년 2월 24일에 확인함.