좌표시

상대성이론에서는 암묵적인 관찰자에 상대적인 시공간 좌표계로 결과를 표현하는 것이 편리하다. 많은 (전부는 아니지만) 좌표계에서 사건은 하나의 시간 좌표와 세 개의 공간 좌표로 지정된다. 시간 좌표로 지정된 시간은 고유 시간과 구별하기 위해 좌표시 또는 좌표시간(coordinate time)이라고 불린다.

특수 상대성이론의 관성 관찰자의 특수한 경우, 관습적으로 사건에서의 좌표 시간은 사건과 같은 위치에 있고, 관찰자에 대해 정지해 있으며, 아인슈타인 동기화 규칙을 사용하여 관찰자의 시계와 동기화된 시계가 측정한 고유 시간과 동일하다.

좌표 시간, 고유 시간, 시계 동기화

좌표 시간 개념에 대한 더 완전한 설명은 고유 시간 및 시계 동기화와의 관계에서 비롯된다. 동기화는 관련 개념인 동시성과 함께 일반 상대성 이론의 틀에서 신중하게 정의되어야 하는데, 이는 고전 역학 및 공간과 시간에 대한 고전적인 설명에 내재된 많은 가정이 제거되어야 했기 때문이다. 특정 시계 동기화 절차는 아인슈타인에 의해 정의되었으며, 동시성에 대한 제한적인 개념을 낳는다.

두 사건은 선택된 기준틀에서 선택된 좌표 시간이 둘 모두에 대해 동일한 값을 가질 때만 동시적이라고 불린다. 그리고 이 조건은 다른 기준틀의 관점에서 볼 때 그것들이 동시적이지 않을 물리적 가능성과 개연성을 허용한다.

그러나 특수 상대성이론 밖에서는 좌표 시간이 명목상 기준틀을 정의하는 장소에 위치한 시계로 측정될 수 있는 시간이 아니다. 예를 들어, 태양계 질량 중심에 위치한 시계는 질량 중심 기준틀의 좌표 시간을 측정하지 않으며, 지구 중심에 위치한 시계는 지구 중심 기준틀의 좌표 시간을 측정하지 않는다.

수학

비관성 관찰자의 경우, 그리고 일반 상대성이론에서는 좌표계를 더 자유롭게 선택할 수 있다. 공간 좌표가 일정한 시계의 경우, 고유 시간 τ (그리스어 소문자 타우)와 좌표 시간 t 사이의 관계, 즉 시간 팽창률은 다음과 같이 주어진다.

$\frac{d\tau }{dt}=\sqrt{-g_{00}}$

(1)

여기서 g₀₀은 중력 시간 팽창을 포함하는 계량 텐서의 성분이다 (0번째 성분이 시간꼴이라는 관례 하에).

1/c² 항의 차수까지 정확한 다른 공식은 고유 시간과 좌표 시간 사이의 관계를 동역학에서 더 쉽게 인식할 수 있는 양으로 표현한다.

$\frac{d\tau }{dt}=1-\frac{U}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2}$

(2)

여기서:

$U=\sum _i\frac{G{M}_i}{r_i}$

는 시계로부터의 거리 r_i에 기반한 근처 질량에 의한 중력 퍼텐셜의 합이다. 이 GM_i/r_i 항의 합은 대략적으로 뉴턴 중력 퍼텐셜 (및 고려되는 조석 퍼텐셜)의 합으로 평가되며, 중력 퍼텐셜에 대한 양의 천문학적 부호 관례를 사용하여 표현된다.

또한 c는 빛의 속력이며, v는 선택된 기준틀의 좌표에서 시계의 속력이며, 다음과 같이 정의된다.

$v^2=(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2)/(d{t}_c{)}^2$

(3)

여기서 dx, dy, dz 및 dt_c는 세 개의 직교 공간꼴 좌표 x, y, z와 선택된 기준틀에서 시계 위치의 좌표 시간 t_c에서 작은 증분이다.

방정식 (2)는 고유 시간과 좌표 시간 사이의 관계, 즉 시간 팽창에 대한 근본적이고 많이 인용되는 미분방정식이다. 추가적인 참고 자료와 함께 슈바르츠실트 계량에서 시작하는 유도는 시간 팽창 § 속도와 중력 시간 팽창의 복합 효과에 나와 있다.

측정

좌표 시간은 측정할 수 없으며, 방정식 (2) (또는 그 대안 또는 정제된 형태)에 제시된 시간 팽창 관계를 사용하여 실제 시계의 (고유 시간) 판독값으로부터만 계산할 수 있다.

설명 목적으로만 시계의 고유 시간이 좌표 시간과 일치하는 가상의 관찰자와 궤적을 상상할 수 있다. 이러한 관찰자와 시계는 선택된 기준틀에 대해 정지해 있는 것으로 (위의 (2)에서 v = 0) 그리고 (도달할 수 없는 가상의 상황에서) 그 중력 질량으로부터 무한히 멀리 떨어져 있는 것으로 (위의 (2)에서 U = 0) 상상되어야 한다. 이러한 설명조차도 제한적인 용도인데, 왜냐하면 좌표 시간은 기준틀의 모든 곳에서 정의되는 반면, 이를 설명하기 위해 선택된 가상의 관찰자와 시계는 제한된 궤적 선택만 가능하기 때문이다.

좌표 시각 척도

좌표 시각 척도 (또는 좌표 시각 표준)는 상대론적 효과를 고려해야 하는 계산에서 시간 좌표로 사용하도록 설계된 시간 표준이다. 시간 좌표의 선택은 전체 기준틀의 선택을 의미한다.

위에서 설명했듯이, 시간 좌표는 관심 대상으로부터 개념적으로 무한히 멀리 떨어져 있고 선택된 기준틀에 대해 정지해 있는 시계의 고유 시간으로 제한된 범위 내에서 설명될 수 있다. 이 개념적 시계는 모든 중력 우물 밖에 있기 때문에 중력 시간 팽창의 영향을 받지 않는다. 중력 우물 내의 물체의 고유 시간은 좌표 기준틀에 대해 정지해 있을 때도 좌표 시간보다 느리게 흐른다. 중력 시간 팽창과 운동 시간 팽창 모두 각 관심 대상에 대해 고려되어야 하며, 그 효과는 (2)에 표시된 바와 같이 기준틀에 대한 속도와 중력 퍼텐셜의 함수이다.

IAU에서 천문학에 사용하기 위해 정의한 네 가지 목적 지향적 좌표 시각 척도가 있다. 태양계 중심 좌표 시간 (TCB)은 태양계의 질량 중심과 함께 움직이는 기준틀에 기반하며, 태양계 내 천체의 운동을 계산하는 데 사용하도록 정의되었다. 그러나 지구 기반 관찰자의 관점에서 볼 때, 중력 시간 팽창을 포함한 일반적인 시간 팽창은 SI 초에 기반한 태양계 중심 좌표 시간이 지구에서 관찰될 때 지구 기반 시계로 측정된 SI 초보다 더 빠르게 흐르는 시간 단위를 갖는 것처럼 보이게 하며, 발산율은 연간 약 0.5초이다. 따라서 많은 실용적인 천문학적 목적을 위해, 역사적인 이유로 태양계 역학 시간 (TDB)이라고 불리는 TCB의 스케일링된 수정본이 정의되었는데, 그 시간 단위는 지구 표면에서 관찰될 때 SI 초로 평가되어, 적어도 수천 년 동안 TDB가 지구 시간 (TT)으로부터 2밀리초 이내로 유지되도록 보장한다. 비록 TDB의 시간 단위가 위에서 설명된 가상의 관찰자(기준틀에 정지해 있고 무한한 거리에 있는)에 의해 측정된다면 SI 초보다 매우 약간 느리겠지만 (1/L_B = 10⁸/1.550519768의 1부분만큼).

지심 좌표 시간 (TCG)은 지심(지구의 중심)과 함께 움직이는 기준틀에 기반하며, 원칙적으로 행성 자전 및 위성 운동과 같이 지구상 또는 지구 주변 현상에 대한 계산에 사용하도록 정의된다. TDB와 비교된 TCB의 경우보다 훨씬 적지만, 해당 이유로 지구 표면에서 관찰된 TCG의 SI 초는 지구 표면 기반 시계에 의해 실현된 SI 초에 대해 약간의 가속을 보인다. 따라서 지구 시간 (TT)도 TCG의 스케일링된 버전으로 정의되었으며, 정의된 지오이드에서 단위 속도가 SI 초와 같도록 스케일링되었지만, TCG 측면에서 TT의 SI 초는 매우 약간 느리다 (이번에는 1/L_G = 10¹⁰/6.969290134의 1부분만큼).

같이 보기

• 절대 시간과 공간
• 일반상대론의 수학적 공식화 개론