천-사이먼스 형식

미분위상수학에서 천-사이먼스 형식([陳]-Simons型式, 영어: Chern–Simons form)은 리 대수 값 미분형식에 대해 곡률 특성 형식(curvature characteristic form)을 자명화시키는 미분형식이다. 이차 특성류 가운데 하나로 볼 수도 있다. 1974년 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 정의하였다. 특수한 경우로서 G-주다발과 접속이 주어진 홀수 차원 매끄러운 다양체에서 정의하기도 한다.

정의

천-사이먼스 원소

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 차원 실수 리 대수 $𝔤$
• $𝔤$의 $n$차 불변 다항식 $p\in \mathrm{Sym}({𝔤}^{*})$

그렇다면, $𝔤$로 구성되는 베유 대수 $\mathrm{W}(𝔤)$를 정의할 수 있다. 이는 가환 미분 등급 대수이다. 또한, 불변 다항식의 공간 $\mathrm{inv}(𝔤)$은 자연스럽게 베유 대수의 부분 공간으로 간주될 수 있다.

$\mathrm{inv}(𝔤)\to \mathrm{W}(𝔤)\to \mathrm{CE}(𝔤)$

이제, $p\in \mathrm{inv}(𝔤)$의 원소는 베유 대수 $\mathrm{W}(𝔤)$ 속에서 항상 닫힌 원소이며, 베유 대수의 코호몰로지는 (정의에 따라) 자명하다. 따라서,

$\mathrm{d}𝖼=p$

가 되는 $2n-1$차 원소

$𝖼\in {\mathrm{W}}^{2n-1}(𝔤)$

를 찾을 수 있다. 이를 $p$의 천-사이먼스 원소(영어: Chern–Simons element)라고 한다.

이과 같은 구성은 임의의 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화된다.

리 대수 값 미분 형식의 천-사이먼스 형식

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 유한 차원 실수 리 대수 $𝔤$
• $𝔤$값의 1차 미분 형식 $A\in {\Omega }^1(P;𝔤)$

그렇다면, $A$는 가환 미분 등급 대수의 준동형

$𝖠:\mathrm{W}(𝔤)\to \mathrm{\Omega }(M)$

과 같은 데이터를 갖는다. 구체적으로, $𝔤$의 기저를 $(t_i{)}_{i\in I}$라고 하고, $\mathrm{W}(𝔤)$의, 이에 대응하는 등급 1의 생성원을 $(t^i{)}_{i\in I}\subseteq \mathrm{W}(𝔤)$라고 할 때, 미분 등급 대수 준동형 $𝖠$에 대응하는 1차 미분 형식은 $A=t_i𝖠(t^i)\in {\mathrm{\Omega }}^1(M;𝔤)$ 이다.

이에 따라서, $𝔤$의 $n$차 불변 다항식 $p$에 대한 $\mathrm{W}(𝔤)$ 속의 대수적 천-사이먼스 원소

$𝖼\in {\mathrm{W}}^{2n-1}(𝔤)$

에 대하여, 그 상

$\mathrm{CS}(A,p)=𝖠(𝖼)\in {\mathrm{\Omega }}^{2n-1}(M)$

은 $M$ 위의 $2n-1$차 미분 형식을 이룬다. 즉, 이는

$\mathrm{d}\mathrm{CS}(A,p)=p(A)$

를 만족시킨다.

주접속의 천-사이먼스 형식

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$ 및 그 리 대수 $𝔤$
• $G$-주다발 $G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M$
• $P$ 위의 주접속 $A\in {\Omega }^1(P;𝔤)$

그렇다면, $P$의 주접속의 공간은 ${\mathrm{\Omega }}^1(M;𝔤)$에 대한 아핀 공간이지만, 이는 표준적인 원점을 갖지 않는다.

원점을 고르는 것은 주접속 $P$의 임의의 자명화 및 각 자명화의 단면을 선택하는 것에 해당한다. 즉, 충분히 섬세한 열린 덮개 $(U_{\beta }{)}_{\beta \in B}$ 및 미분 동형 $U_{\beta }\times G\to (P\upharpoonright U_{\beta })$들을 고르면, 주접속 $A$는 덮개의 각 원소 위의 $𝔤$값 1차 미분 형식들의 모임

$A\upharpoonright U_{\beta }\in {\mathrm{\Omega }}^1(U;𝔤)$

의 데이터로 주어진다. 이에 따라, 선택한 불변 다항식 $p\in \mathrm{inv}(𝔤)$에 대한 각 조각별 천-사이먼스 형식들을 정의하여 짜깁기하여 $M$ 전체에 정의된 미분 형식

${\omega }_{2n-1}\in {\mathrm{\Omega }}^{2n-1}(M)$

을 얻을 수 있다.

이렇게 하여 얻은 미분 형식은 $p$가 게이지 불변이므로 무한소 게이지 변환(즉, 항등 함수와 호모토픽한 게이지 변환 $\in \mathrm{Aut}(P)={𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,G)$)에 대하여 자동적으로 게이지 불변이다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환(즉, $\mathrm{Aut}(P)={𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,G)$의 자명하지 않은 연결 성분)에 대하여 불변이지 않다. 즉, 이는 일반적으로 대역적으로 잘 정의되지 않는다.

다만, 만약 (예를 들어) $M$이 $2n-1$차원 매끄러운 다양체라면, 그 적분

$S_{\mathrm{CS}}=\underset{M}{\int }{\omega }_{2n-1}\in ℝ$

을 생각할 수 있다. 이 경우, 큰 게이지 변환의 군

${\pi }_0({𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,G))$

은 이 값 위에 작용하게 된다. 만약 ${\pi }_0({𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,G))$의 작용이

$S_{\mathrm{CS}}\mapsto S_{\mathrm{CS}}+(\Delta S_{\mathrm{CS}})\mathbb{Z}$

의 꼴이라면, 이 경우

$\exp (2\pi \mathrm{i}{S}_{\mathrm{CS}})\in \mathrm{U}(1)$

는 잘 정의된다. 이와 같은 구성은 이론물리학에서 천-사이먼스 이론의 정의에 사용되며, 큰 게이지 변환의 작용은 물리학적으로 천-사이먼스 이론의 전위(영어: level)의 양자화로 귀결된다.

성질

매끄러운 다양체 $M$ 위의 평탄 주접속 $A$의 (임의의 불변 다항식)에 대한) 천-사이먼스 형식은 (정의에 따라) 닫힌 미분 형식이다. 마찬가지로, $n$차 불변 다항식 $p$에 대하여, 만약

$\dim M=2n-1$

이라면, 천-사이먼스 형식은 최고차이므로 닫힌 미분 형식이다. 이와 같은 경우, 천-사이먼스 형식은 실수 계수 코호몰로지류를 정의한다.

예

가장 자주 사용되는 천-사이먼스 형식은 다음과 같다.

리 대수 $𝔤$의 유한 차원 표현

$\rho :𝔤\to 𝔤𝔩(N;ℝ)$

이 주어졌을 때,

$p_n(x^i)=\mathrm{tr}\left({(\sum _i{x}^i\rho (t_i))}^n\right)$

는 대각합의 순환성에 의하여 항상 $2n$차 불변 다항식이다.

따라서, 이에 대한 $2n-1$차 천-사이먼스 형식 ${\omega }_{2n-1}$을 정의할 수 있다. 즉,

${\omega }_{2n-1}=\mathrm{tr}(\rho (F{)}^n)$

이 된다. 여기서 $\rho (F{)}^n$이란 $\rho$를 사용하여 $t_i𝖠(\delta t^i)=F\in {\mathrm{\Omega }}^2(M;𝔤)$를 2차 미분 형식의 $N\times N$ 정사각 행렬로 간주한 뒤, 행렬 곱셈과 미분 형식 쐐기곱을 합성한 연산에 대한 제곱이다.

만약 $𝔤=𝔲(n)$일 때, ${\omega }_1,{\omega }_3,\dots ,{\omega }_{2n-1}$들은 $𝔲(n)$의 $n$개 불변 다항식에 각각 대응한다. (만약 $𝔤=𝔰𝔲(n)$일 경우, ${\omega }_1=0$이 된다.)

이러한 7차 이하의 천-사이먼스 형식들은 다음과 같다.

${\omega }_1=\mathrm{tr}A$

${\omega }_3=\mathrm{tr}(F\wedge A-\frac{1}{3}A\wedge A\wedge A)$

${\omega }_5=\mathrm{tr}(F\wedge F\wedge A-\frac{1}{2}F\wedge A\wedge A\wedge A+\frac{1}{10}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A)$

${\omega }_7=\mathrm{tr}(\frac{4}{7}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+2dA\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+\frac{8}{3}dA\wedge dA\wedge A\wedge A\wedge A+\frac{4}{3}dA\wedge A\wedge dA\wedge A\wedge A+dA\wedge dA\wedge dA\wedge A)$

이러한 식에서, $\wedge$는 사실 (리 대수의 표현을 사용하여) 미분 형식의 정사각 행렬로 간주한 것들의 행렬곱이다. 즉, 리 대수의 지표는 (정사각 행렬로 표현하여) 행렬곱을 취하고, 행렬의 각 성분인 미분 형식은 쐐기곱을 취하는 것이다.

천-사이먼스 형식의 계산

이러한 꼴의 불변 다항식에 대한 천-사이먼스 형식은 다음과 같이 대수적으로 모형화될 수 있다.

하나의 등급 1의 생성원 $𝖺$로 생성되는 유리수 계수 자유 미분 대수

$𝒜=\mathbb{Q}⟨𝖺,\mathrm{d}𝖺⟩$

를 생각하자. 이는 등급 가환 법칙을 따르지 않지만, 미분 연산 $\mathrm{d}$는 멱영 연산이며 $𝖺$에 대한 곱셈과 등급 가환한다. 즉,

${\mathrm{d}}^2\mathrm{a}=0$

$\mathrm{d}:𝖺p\mapsto (\mathrm{d}𝖺)p-𝖺(\mathrm{d}p)\mathrm{\forall }p\in A$

$\mathrm{d}:(\mathrm{d}𝖺)p\mapsto (\mathrm{d}𝖺)(\mathrm{d}p)\mathrm{\forall }p\in A$

이다.

이제, 다음과 같은 꼴의 항들로 생성되는 부분 벡터 공간을 생각하자.

$V={\mathrm{Span}}_{\mathbb{Q}}\{pq-(-{)}^{\mathrm{deg}p\mathrm{deg}q}qp:p,q\in 𝒜\}⊊𝒜$

(이는 대각합의 순환성에 의하여 대각합을 취하면 0이 되는 항들의 공간이며, 특히 아이디얼이 아니다. 예를 들어, ${𝖺}^2\in V$이지만 ${𝖺}^3\in ̸V$이다.) 그렇다면, 임의의 양의 정수 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여,

$\mathrm{d}{𝗐}_{2k-1}-(\mathrm{d}𝖺+{𝖺}^2{)}^k\in V$

가 되는 원소 ${𝗐}_{2k-1}\in 𝒜$가 존재함을 보일 수 있으며, 그 동치류 ${𝗐}_{2k-1}+V\in 𝒜/V$는 유일하다. 이것이 $2n-1$차 천-사이먼스 형식이 된다.

특히, 천-사이먼스 형식을 계산할 때,

${𝖺}^{2k}\in V$

이라는 사실이 자주 사용된다.

이를 통해, 처음 몇 개의 천-사이먼스 형식을 다음과 같이 계산할 수 있다. 여기서 편의상 $𝖿=\mathrm{d}𝖺+{𝖺}^2$이며, “대각합” $\mathrm{tr}(-)$은 $𝒜/V$로 동치류를 취하는 것이다.

1차 천-사이먼스 형식의 계산:

$\mathrm{tr}(𝖿)=\mathrm{tr}(\mathrm{d}𝖺+{𝖺}^2)=\mathrm{tr}(\mathrm{d}𝖺)$

3차 천-사이먼스 형식의 계산:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tr}({𝖿}^2)& =\mathrm{tr}((\mathrm{d}𝖺+{𝖺}^2)(\mathrm{d}𝖺+{𝖺}^2))\\ & =\mathrm{tr}(\mathrm{d}{𝖺}^2+2(\mathrm{d}𝖺){𝖺}^2)\\ & =\mathrm{tr}(\mathrm{d}((\mathrm{d}𝖺)𝖺)+\frac{2}{3}{𝖺}^3)\\ & =\mathrm{tr}\mathrm{d}((\mathrm{d}𝖺)𝖺+\frac{2}{3}{𝖺}^3)\\ & =\mathrm{tr}\mathrm{d}(𝖿𝖺-\frac{1}{3}{𝖺}^3)\end{array}$

역사

천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 1974년에 도입하였다. 천싱선과 사이먼스는 리만 다양체의 폰트랴긴 특성류를 조합론적으로 계산하려고 하였는데, 이러한 공식의 존재에 대한 방해물로 천-사이먼스 형식을 발견하였다.

물리학에 응용

1978년 러시아 수리물리학자 알베르트 시바르츠는 천-사이먼스 형식을 이용하여 3차원 위상 양자장론 가운데 하나인 천-사이먼스 이론을 최초로 발견하였다. 이는 3차원 양자중력과도 연결되며 분수 양자 홀 효과를 설명하기도 한다. 또한 양-밀스 이론과도 연결되어 topologically massive Yang-Mills theory같은 물리학 이론을 만든다.

같이 보기

• 천-베유 준동형
• 위상 양자장론
• 존스 다항식

외부 링크

• “Chern-Simons functional” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Chern-Simons form” (영어). 《nLab》.