L∞-대수

수학에서 L_∞-대수(L_∞-algebra) 또는 호모토피 리 대수(영어: homotopy Lie algebra)는 $\mathbb{Z}$ 등급을 갖는 대수이다. 리 대수의 개념에서, 야코비 항등식이 오직 호모토피에 대하여 성립하도록 약화시킨 것이다.

정의

괄호를 통한 정의

표수 0의 체 $K$가 주어졌다고 하자. $K$ 위의 초벡터 공간 $V=V_{+}\oplus V_{-}$이 주어졌을 때, 다음을 정의하자.

$\bigwedge V=\frac{\mathrm{T}(V)}{\Im }$

여기서 $\Im$는 텐서 대수 $\mathrm{T}(V)$의, 다음 부분 집합으로 생성되는 아이디얼이다.

$\Im =(v_1\otimes v_2\otimes \cdots \otimes v_n-(-{)}^{\sigma }(-{)}^{\sigma ,\overrightarrow{v}}{v}_{\sigma (1)}\otimes v_{\sigma (2)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}:\sigma \in \mathrm{Sym}(n),v_1,\dots ,v_n\in V_{+}\cup V_{-})$

여기서

• $(-{)}^{\sigma }\in \{\pm 1\}$는 순열의 부호수, 즉 군 준동형 $\mathrm{Sym}(n)\to \mathrm{Sym}(2)$에 대한 상이다.
• $(-{)}^{\sigma ,\overrightarrow{v}}\in \{\pm 1\}$는 $\sigma$가 $(v_1,\dots ,v_n)$에 작용할 때, $V_{-}$에 속하는 두 원소를 교환할 때의 수가 짝수인 경우 $+1$, 홀수일 경우 $-1$이다.

물론 $\bigwedge V$는 자연수 등급을 갖는다.

$K$ 위의 L_∞-대수 $A$는 다음과 같은 일련의 연산이 주어진, $K$ 위의 $\mathbb{Z}$-등급 벡터 공간

$A=\underset{i\in \mathbb{Z}}{⨁}{A}^i$

이다.

• 각 $n\ge 1$에 대하여, 등급 반대칭 $n$항 연산 $[-,-,\dots ,-]:{\bigwedge }^{n}V\to K$. 그 등급은 $n-2$이다. (즉, 2항 괄호의 등급이 0이며, 1항 괄호는 등급 −1의 미분을 이룬다.)

  $\mathrm{deg}[a_1,\dots ,a_n{]}_n=n-2+\sum _{i=1}^n\mathrm{deg}{a}_i$

이는 다음과 같은 야코비 항등식을 만족시켜야 한다.

$0=\sum _{i+j=n+1}\sum _{\sigma \in \mathrm{Sh}(i,n-i)}e(\sigma )(-1{)}^{\sigma +i(j-1)}[[a_{\sigma (1)},\dots ,a_{\sigma (i)}{]}_i,a_{\sigma (i+1)},\dots ,a_{\sigma (n)}{]}_j$

여기서

• $\mathrm{Sh}(i,n-i)$는 $(i,n-i)$-셔플 순열의 집합이다.
• $e(\sigma )$는 순열 $\sigma$가 홀수 등급을 갖는 원소쌍을 서로 짝수 번 뒤바꾸었을 때 $+1$, 홀수 번 뒤바꾸었을 때 $-1$이다. 이를 코쥘 부호(영어: Koszul sign)라고 한다.

미분 등급 대수를 통한 정의

만약 각 등급별 차원이 유한하다면, L_∞-대수는 다음과 같이 정의될 수도 있다.

표수 0의 체 $K$ 위의 위의 호모토피 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $K$ 위의 양의 정수 등급 벡터 공간 $A=\underset{i\in {\mathbb{Z}}^{+}}{⨁}{A}_i$. 이로부터 다음을 정의할 수 있다.
  • $A^{*}$는 $A$의 대수적 쌍대 공간이다.
  • $\mathrm{Sym}(A^{*})$은 등급 벡터 공간 $A^{*}$ 위의 대칭 대수이며, 이는 자연수 등급 대수를 이룬다.
• $\mathrm{d}:\mathrm{Sym}(V^{*})\to \mathrm{Sym}(V^{*})$는 $\mathrm{Sym}(V^{*})$ 위의, 등급 +1의 연속 미분이다. 즉, 다음 조건들을 만족시킨다.
  • $\mathrm{d}$는 $K$-선형 변환이다.
  • $\mathrm{d}\circ \mathrm{d}=0$
  • $\mathrm{d}(ab)=(\mathrm{d}a)b+(-{)}^{\mathrm{deg}a}a\mathrm{d}b$이다. 여기서 $a$는 동차 성분이다.
  • $\mathrm{deg}(\mathrm{d}a)=1+\mathrm{deg}a$. 여기서 $a$는 동차 성분이다.

이는 다음 조건을 추가로 만족시켜야 한다.

• 표준 사영 $(\mathrm{Sym}(V^{*}),\mathrm{d})\to (K,0)$는 미분 등급 대수의 준동형이다.

(만약 이 조건을 생략한다면, 굽은 L_∞-대수영어: curved L_∞-algebra의 개념을 얻는다.)

두 정의 사이의 관계

이 두 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 우선, 괄호 $[-,-,\dots ,-{]}_{\bullet }$를 통한 정의에서, $A$의 임의의 기저

$A={\mathrm{Span}}_K\{t_i{\}}_{i\in I}$

를 잡자. 그 쌍대 기저는

$A^{*}={\mathrm{Span}}_K\{t^i{\}}_{i\in I}$

이며, 또한

$\mathrm{deg}{t}^i=\mathrm{deg}{t}_i+1$

로 놓자. 그렇다면,

$\mathrm{d}:t^i\mapsto -\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{t}^i([t_{i_1},\dots ,t_{i_n}{]}_n)t^{i_1}{t}^{i_2}\cdots t^{i_n}$

이다. 이 경우, 멱영 조건

${\mathrm{d}}^2=0$

을 전개하고 등급별로 분해하면, 괄호에 대한 조건들과 동치임을 알 수 있다.

예

미분 등급 리 대수

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 미분 등급 리 대수입니다.

L_∞-대수 $𝔤$에서, 만약 오직 2항 이하 괄호만이 0이 아닌 경우, 이는 미분 등급 리 대수를 이룬다. 즉, 이 경우

$[a{]}_1=\mathrm{d}a$

$[a,b{]}_2=[a,b]$

$[a,b,\dots ,{]}_k=0(k\ge 3)$

로 놓으면, $(𝔤,\mathrm{d},[-,-])$가 만족시켜야 하는 항등식들은 미분 등급 리 대수의 정의와 일치한다. 즉, 3항 이상의 괄호들이 모두 0이라면, 2항 괄호의 야코비 항등식이 정확히 성립한다.

특히, 만약 추가로 $[-{]}_1=\mathrm{d}=0$일 경우, 이는 등급 리 초대수를 이루며, 만약 모든 등급이 짝수라면 이는 등급 리 대수를 이룬다.

리 $n$-대수

L_∞-대수에서, 모든 생성원의 등급이 $\{0,1,\dots ,n\}$에 속하는 경우를 리 $n$-대수라고 한다. 이 경우,

$n\ge \mathrm{deg}[a_1,\dots ,a_k{]}_k\ge k-2$

이므로,

$[-,\dots ,-{]}_k=0(k>n+2)$

이다.

예를 들어, $n=1$일 경우, 오직 1항 · 2항 · 3항 연산만이 자명하지 않다.

특히, $n=0$인 경우, 1항 연산 또한 등급에 의하여 0이 되므로, 이 개념은 리 대수의 개념과 동치이다.

거스틴해버 대수

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 거스틴해버 대수입니다.

모든 거스틴해버 대수는 L_∞-대수를 이룬다.

같이 보기

• A∞-대수
• 미분 등급 대수
• 바탈린-빌코비스키 대수
• 단체 리 대수
• 호흐실트 호몰로지

외부 링크

• “L-infinity-algebra” (영어). 《nLab》. 
• “Super L-infinity algebra” (영어). 《nLab》.