감마 함수

파일:Gamma Function.svg

실수축 위에서 감마 함수의 그래프

수학에서 감마 함수(Γ函數, 영어: gamma function)는 계승 (수학) 함수의 해석적 연속이다.

감마 함수의 기호는 감마(Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다.

양의 정수 n에 대하여 $Γ (n) = (n - 1)!$ 이 성립한다.

정의

파일:Complex gamma.jpg

복소평면에서의 감마 함수

감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 동치임을 보일 수 있다.

오일러 적분

감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 오일러 적분이라고 한다.

Γ (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} d t (Re z > 0)

오일러 적분은 상반평면 ${z \in ℂ : Re z > 0}$ 인 영역에서 절대수렴한다. 여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 감마 함수라 부른다.

가우스 극한

Γ (z) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n}{z (z + 1) (z + 2) \dots (z + n)} n^{z} (z \neq 0, - 1, - 2, \dots)

이 정의는 오일러의 이름을 따 오일러 극한 형태라고도 불리기도 한다.

바이어슈트라스 무한곱

Γ (z) = \frac{1}{z \exp (γ z)} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{\exp (z / n)}{1 + z / n}

여기서 $γ$ 는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 바이어슈트라스 무한곱 형태라고도 불리기도 한다.

계승의 일반화에서 주의점

만약 감마함수를 자연수 $n$ 에 대해

Γ (n) = (n - 1)!

을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어

f (x) = Γ (x) \cos^{2} π x

또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 $\ln Γ (z)$ 가 양의 실수축상에서 볼록함수이다.

성질

감마 함수는 정의역에서 정칙 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.

\overline{Γ (z)} = Γ (\bar{z})

특이점

감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수 $z = 0, - 1, - 2, \dots$ 에서 단순극을 가진다. 단순극 $- n$ 에서 유수의 값은 $\frac{(- 1)^{n}}{n!}$ 이다.^[1] 감마 함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 $1 / Γ (z)$ 는 전해석 함수이다.

함수 방정식

감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다.

Γ (z + 1) = z Γ (z)

Γ (1 - z) Γ (z) = \frac{π}{\sin (π z)}

두 번째 공식은 오일러 반사 공식(영어: Euler’s reflection formula)이라고 불린다.

곱의 정리: $Γ (z) Γ (z + \frac{1}{m}) Γ (z + \frac{2}{m}) \dots Γ (z + \frac{m - 1}{m}) = (2 π)^{(m - 1) / 2} m^{1 / 2 - m z} Γ (m z) .$

특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다.

Γ (z) Γ (z + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

미분과 적분

감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 $ψ_{0} (z)$ 로 주어진다.

Γ^{'} (z) = Γ (z) ψ_{0} (z)

특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다.

Γ^{'} (m + 1) = m! \cdot (- γ + \sum_{k = 1}^{m} \frac{1}{k})

일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다.

\frac{d^{n}}{(d x)^{n}} Γ (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x - 1} e^{- t} \ln^{n} t d t

감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다.

Res (Γ, - n) = \frac{(- 1)^{n}}{n!}

특별한 값

반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 n에 대하여,

Γ (1 / 2 + n) = \frac{(2 n)!}{4^{n} n!} \sqrt{π}

Γ (1 / 2 - n) = \frac{(- 4)^{n} n!}{(2 n)!} \sqrt{π}

이 공식들은 $Γ (1 / 2) = \sqrt{π}$ 로부터 수학적 귀납법으로 유도할 수 있다.

몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다.

\begin{matrix} Γ (- 3 / 2) & = \frac{4 \sqrt{π}}{3} & \approx 2.363 \\ Γ (- 1 / 2) & = - 2 \sqrt{π} & \approx - 3.545 \\ Γ (1 / 2) & = \sqrt{π} & \approx 1.772 \\ Γ (1) & = 0! & = 1 \\ Γ (3 / 2) & = \frac{\sqrt{π}}{2} & \approx 0.886 \\ Γ (2) & = 1! & = 1 \\ Γ (5 / 2) & = \frac{3 \sqrt{π}}{4} & \approx 1.329 \\ Γ (3) & = 2! & = 2 \\ Γ (7 / 2) & = \frac{15 \sqrt{π}}{8} & \approx 3.323 \\ Γ (4) & = 3! & = 6 \end{matrix}

Γ (\frac{1}{4}) = \sqrt{2 G \sqrt{2 π^{3}}}, G

가우스 상수

응용

감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.

초구의 부피

반지름이 $R$ 인 $n$ 차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다.

V_{n} = \frac{π^{\frac{n}{2}}}{\frac{n}{2} Γ (\frac{n}{2})} R^{n} = C_{n} R^{n}

감마분포

감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 $f (x)$ 는 다음과 같다.

f (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{β^{α} Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}, & if x \geq 0 \\ 0, & otherwise \end{matrix}

여기서 $α, β$ 는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다.

큐-감마 함수

큐-감마 함수(q-gamma function)는 감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.

f (x + 1) = \frac{1 - q^{z}}{1 - q} f (x)

q \in (0, 1)

구간 예약

f (1) = 1

\log f (x), x > 0

f (x) = Γ_{q} (x)

∴ Γ_{q} (z) = \frac{(q; q) \infty}{(q^{z}; q) \infty} (1 - q)^{1 - z}

큐-포흐하머 기호

(q; q) \infty

같이 보기

각주

↑ George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Foreword by James R. Newman)

외부 링크

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“Gamma-function” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Gamma function” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Askey, R. A.; R. Roy (2014년 3월 21일). “Chapter 5. Gamma Function” (영어). 《Digital Library of Mathematical Functions》. NIST.
이철희. “감마함수”. 《수학노트》.

모듈:Authority_control 159번째 줄에서 Lua 오류: attempt to index field 'wikibase' (a nil value).

[1] George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Foreword by James R. Newman)

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