호흐실트 호몰로지

추상대수학에서 호흐실트 호몰로지(영어: Hochschild homology)와 호흐실트 코호몰로지(영어: Hochschild cohomology)는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 호몰로지 · 코호몰로지 이론이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

가환환 $K$
$K$ -결합 대수 $A$
$(A, K, A)$ -쌍가군 $_{A} M_{A}$ . 즉, $M$ 은 $(A, A)$ -쌍가군이며, 또한 $M$ 위의 왼쪽 $K$ -작용이 오른쪽 $K$ -작용과 일치한다고 하자.

호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치이다.

호흐실트 (코)호몰로지는 Ext 함자 (또는 Tor 함자)의 특수한 경우로 추상적으로 정의될 수 있다.
호흐실트 (코)호몰로지는 호흐실트 (공)사슬 복합체(영어: Hochschild (co)chain complex)라는 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 구체적으로 정의될 수 있다.
호흐실트 (코)호몰로지는 단체 대상의 이론을 통해 정의될 수 있다.

흔히, $_{A} M_{A} =_{A} A_{A}$ 인 특수한 경우가 자주 사용된다.

추상적 정의

$A$ 의 포락 대수(包絡代數, 영어: enveloping algebra)

A^{e} = A \otimes_{K} A^{op}

를 정의할 수 있다. 이는 $K$ -결합 대수이며, $M$ 은 $A^{e}$ -왼쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로, $A$ 도 $A^{e}$ 의 왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로,

(a \otimes_{K} b^{op}) \cdot m = a \cdot m \cdot b \forall a, b \in A, m \in M

(a \otimes_{K} b^{op}) \cdot c = a \cdot c \cdot b \forall a, b, c \in A

이다.

$A$ 의 $M$ 계수의 호흐실트 호몰로지 군 ${HH}_{n} (A; M)$ 및 호흐실트 코호몰로지 군 ${HH}^{n} (A; M)$ 은 다음과 같이 Ext 함자 및 Tor 함자로 정의된다.

{HH}_{n} (A; M) = {Tor}_{n}^{A^{e}} (A, M)

{HH}^{n} (A; M) = {Ext}_{A^{e}}^{n} (A, M)

구체적 정의

다음이 주어졌다고 하자.

가환환 $K$
$K$ -가군 범주의 단체 대상 $(X_{∙}, \partial_{∙, i}, s_{∙, i})$

그렇다면,

\partial_{n} = \sum_{i = 0}^{n} (-)^{i} \partial_{n, i}

를 정의하면,

\partial_{n} \circ \partial_{n + 1} = 0

이 되어, 사슬 복합체

\dots \overset{\partial}{\leftarrow} X_{2} \overset{\partial}{\leftarrow} X_{1} \overset{\partial}{\leftarrow} X_{0} \to 0

를 정의할 수 있다. 이 사슬 복합체의 호몰로지를 단체 가군 $X_{∙}$ 의 호흐실트 호몰로지라고 한다. 마찬가지로, 이 사슬 복합체의 쌍대 가군들로 구성된 공사슬 복합체

X^{n} = {hom}_{K} (X_{n}, K)

0 \to X^{1} \to X^{2} \to \dots

의 코호몰로지를 단체 가군 $X_{∙}$ 의 호흐실트 코호몰로지라고 한다. (호흐실트 (코)호몰로지의 정의에는 퇴화 사상 $s_{∙, i}$ 이 쓰이지 않는다.)

특히, 만약 위와 같이 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 와 $(A, K, A)$ -쌍가군 $M$ 이 주어졌다면, 다음과 같은 호흐실트 단체 가군(영어: Hochschild simplicial module) $C_{∙} (A; M)$ 을 정의할 수 있다.^[1]^{:45, (1.6.1.2)}

C_{n} (A; M) = M \otimes_{K} A^{\otimes_{K} n}

\partial_{n, i} : C_{n} (A; M) \to C_{n + 1} (A; M)

\partial_{n, i} : m \otimes_{K} a_{1} \otimes_{K} \dots \otimes_{K} a_{n} \mapsto {\begin{matrix} (m a_{1}) \otimes_{K} \dots \otimes_{K} a_{n} & i = 0 \\ m \otimes_{K} a_{1} \otimes_{K} \dots \otimes_{K} a_{i - 1} \otimes_{K} a_{i} a_{i + 1} \otimes_{K} a_{i + 2} \otimes_{K} \dots \otimes_{K} a_{n} & 0 < i < n \\ a_{n} m \otimes_{K} a_{1} \otimes_{K} \dots \otimes_{K} a_{n - 1} & i = n \end{matrix}

s_{n, i} : C_{n} (A; M) \to C_{n - 1} (A; M)

s_{n, i} : a_{0} \otimes_{K} \dots \otimes_{K} a_{n} \mapsto m \otimes_{K} a_{1} \otimes_{K} \dots \otimes_{K} a_{i} \otimes_{K} 1 \otimes_{K} a_{i + 1} \otimes_{K} a_{n}

결합 대수 $A$ 의 $M$ 계수 호흐실트 호몰로지란 그 호흐실트 단체 가군의 호흐실트 호몰로지를 말한다.

$C_{∙} (A; M)$ 은 사슬 복합체로서

M \otimes_{A^{e}} {Bar}_{∙} (A, A, A)

의 꼴이다. 여기서 ${Bar}_{∙} (A, A, A)$ 는 $A$ 의 막대 복합체이다. 이제, 이를 쌍대화하여 공사슬 복합체

C^{∙} (A; M) = {hom}_{A^{e}} ({Bar}_{∙} (A, A, A), M)

를 정의할 수 있으며, $A$ 의 $M^{\lor}$ 계수 호흐실트 코호몰로지란 이 공사슬 복합체의 코호몰로지이다.

위상수학적 정의

$A$ 계수의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같이 임의의 가군 범주 속의 단체 대상에 대하여 일반화될 수 있다.

다음이 주어졌다고 하자.

가환환 $K$
${Mod}_{K}$ 속의 단체 대상 $X : △^{op} \to {Mod}_{K}$ . 여기서 $△$ 은 단체 범주이다.

그렇다면, 단체 가군의 범주 $hom (△^{op}, {Mod}_{K})$ 은 아벨 범주이므로 그 속에서 Ext 함자를 정의할 수 있다. 또한, 단체 가군의 텐서곱을 정의할 수 있으며, 그 유도 함자로서 Tor 함자를 정의할 수 있다.

이 경우, $X$ 의 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지는 각각 다음과 같다.^[1]^:§6.2

{HH}_{n} (X) = {Tor}_{n}^{hom (△^{op}, {Mod}_{K})} (K_{∙}, X)

{HH}^{n} (X) = {Ext}_{hom (△^{op}, {Mod}_{K})}^{n} (X, K_{∙})

여기서 $K_{∙}$ 는 모든 성분이 1차원 자유 가군 $K$ 이며, $s_{n}^{i}$ 및 $d_{n}^{i}$ 모두가 항등 함수인 자명한 단체 대상이다.

(사실, 만약 $A = M$ 이라면, 호흐실트 단체 가군 $C_{n} (A; A)$ 는 추가로 순환 대상을 이룬다. 이 경우, 단체 가군의 범주 대신 순환 가군의 범주 $hom (△_{Cyc}^{op}, {Mod}_{K})$ 에서 Tor 함자와 Ext 함자를 취할 수 있으며, 이 경우 순환 (코)호몰로지를 얻는다.^[1]^{:213, Theorem 6.2.8}^[1]^{:214, Theorem 6.2.9})

성질

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 및 $(A, K, A)$ -쌍가군 $M$ 에 대하여, 호흐실트 호몰로지 ${HH}^{n} (A; M)$ 및 호흐실트 코호몰로지 ${HH}^{n} (A; M)$ 는 $K$ -가군이며, 사실 $Z (A)$ -가군을 이룬다.^[1]^{:10, §1.1.5}

함자성

임의의 가환환 $K$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수의 범주 ${Alg}_{K}$ 와, $K$ -결합 대수 $A$ 가 주어졌을 때 $(A, K, A)$ -쌍가군의 범주 $_{A} {Mod}_{A}$ 를 생각하자.

그렇다면, 호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같은 함자를 정의한다.^[1]^{:10, §1.1.4}

{HH}_{n} :_{A} {Mod}_{A} \to {Mod}_{Z (A)}

{HH}^{n} :_{A} {Mod}_{A} \to {Mod}_{Z (A)}

또한, 임의의 $K$ -결합 대수 준동형

ϕ : B \to A

및 $(A, K, A)$ -쌍가군 $M$ 에 대하여, $ϕ^{*} M$ 은 $(B, K, B)$ -쌍가군을 이루며, 이는 호흐실트 호몰로지의 사상^[1]^{:10, §1.1.4}

ϕ_{*} : {HH}^{∙} (B; ϕ^{*} M) \to {HH}_{n} (A; M)

및 호흐실트 코호몰로지의 사상^[1]^{:38, §1.5.1}

ϕ^{*} : {HH}^{∙} (A; M) \to {HH}^{n} (B; ϕ^{*} M)

을 유도한다.

특히, 만약 $M = A$ 일 때, 이는 $K$ -결합 대수의 범주(의 반대 범주)에서 $K$ -가군의 범주로 가는 함자

{HH}_{n} (-) : {Alg}_{K} \to {Mod}_{K}

{HH}^{n} (-) : {Alg}_{K}^{op} \to {Mod}_{K}

를 정의한다.

예

0차 호흐실트 (코)호몰로지

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 및 $(A, K, A)$ -쌍가군 $M$ 이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 호흐실트 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

C_{0} (A; M) = M

C_{1} (A; M) = M \otimes_{K} A

\partial_{1} = \partial_{1, 0} - \partial_{1, 1}

\partial_{1, 0} : m \otimes_{K} a \mapsto m a

\partial_{1, 1} : m \otimes_{K} a \mapsto a m

이에 따라,

{HH}_{0} (A; M) = \frac{M}{[M, A]}

이다.^[1]^{:10, §1.1.6}

마찬가지로, 호흐실트 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

C^{0} (A; M) = M

C^{1} (A; M) = M \otimes A^{\lor}

d^{0} : C^{0} (A; M) \to C^{1} (A; M)

d^{0} (m) (a) = m a - a m

이에 따라,

{HH}^{0} (A; M) = {m \in M : a m = m a \forall a \in A}

는 환의 중심의 개념의 일반화이다.^[1]^{:38, §1.5.2}

1차 호흐실트 코호몰로지

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 및 $(A, K, A)$ -쌍가군 $M$ 이 주어졌다고 하자.

1차 호흐실트 코호몰로지는 다음과 같다.^[1]^{:38, §1.5.2} 1차 호흐실트 공순환은 $K$ -가군 준동형

δ : A \to M

가운데

δ (a b) = a δ (b) + δ (a) b

와 같은 곱 규칙을 만족시키는 것이다. 이러한 것들을 미분(영어: derivation)이라고 하자. 반면, 1차 호흐실트 공경계는

[m, -] : A \to M (m \in M)

와 같은 꼴의 $K$ -가군 준동형이다. 즉, 이러한 것들을 내부 미분(영어: inner derivation)이라고 하자. 그렇다면, 1차 호흐실트 코호몰로지는 미분의 공간의, 내부 미분에 대한 몫, 즉 외부 미분(영어: outer derivation)의 공간으로 여겨질 수 있다.

가환 대수

가환환 $K$ 위의 가환 결합 대수 $A$ 및 $A$ -가군 $M$ 에 대하여, 처음 두 개의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.^[2]^{:307, Proposition 9.2.2}^[1]^{:11, Proposition 1.1.10}

{HH}_{0} (A; M) ≅ M

{HH}_{1} (A; M) ≅ M \otimes_{A} Ω_{A / K}

여기서 $Ω_{A / K}$ 는 켈러 미분의 가군이다.

즉, 1차 호흐실트 호몰로지는 1차 미분 형식에 대응한다. 비가환 기하학에서는 이를 사용하여 비가환 공간 위의 미분 형식을 정의한다.

다항식환

복소수 계수 다항식환 $ℂ [\vec{x}]$ ( $\vec{x} \in ℂ^{k}$ )의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.

{HH}_{n} (ℂ [\vec{x}]; ℂ [\vec{x}]) = ℂ [\vec{x}] \otimes_{ℂ} Λ^{n} (ℂ^{k})

여기서 $Λ^{n} (-)$ 는 외대수이다. 구체적으로, $n$ 차 호흐실트 사슬은 다음과 같은 꼴이다.

C_{n} (ℂ [\vec{x}]) = ℂ [{\vec{x}}_{0}, {\vec{x}}_{1}, \dots, {\vec{x}}_{n}]

호흐실트 사슬에 대응하는 호몰로지 동치류는 다음과 같다.

p ({\vec{x}}_{0}, \dots, {\vec{x}}_{n}) \mapsto \sum_{i_{1} = 1}^{k} \sum_{i_{2} = 1}^{k} \dots \sum_{i_{n} = 1}^{k} {\frac{\partial}{\partial (x_{1})^{i_{1}}} \frac{\partial}{\partial (x_{2})^{i_{2}}} \dots \frac{\partial}{\partial (x_{n})^{i_{n}}} p |}_{{\vec{x}}_{0} = {\vec{x}}_{1} = {\vec{x}}_{2} = \dots = {\vec{x}}_{n} = \vec{x}} d (x_{1})^{i_{1}} \land d (x_{2})^{i_{2}} \land \dots \land d (x_{n})^{i_{n}}

역사

게르하르트 호흐실트가 1945년에 체 위의 결합 대수에 대하여 도입하였다.^[3] 이후 앙리 카르탕과 사무엘 에일렌베르크가 일반적인 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의하였다.^[4]

같이 보기

순환 호몰로지

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 ^카 ^타 Loday, Jean-Louis (1998). 《Cyclic homology》 2판 (영어). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 301. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-11389-9. ISBN 978-3-642-08316-7. ISSN 0072-7830. MR 1217970. Zbl 0885.18007.
↑ Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》 (영어). Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001.
↑ Hochschild, Gerhard (1945). “On the cohomology groups of an associative algebra”. 《Annals of Mathematics》 46: 58–67. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969145. MR 0011076.
↑ Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956). 《Homological algebra》 (영어). Princeton University Press. OCLC 529171.

외부 링크

“Cohomology of algebras” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Hochschild-Kamowitz complex” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Hochschild cohomology” (영어). 《nLab》.
Webster, Ben (2007년 7월 22일). “Hochschild homology” (영어). 《Secret Blogging Seminar》.
Melrose, Richard (2013년 1월 27일). “Introduction to microlocal analysis” (PDF) (영어).
Thiel, Hannes (2006). “An introduction to Hochschild and cyclic homology” (PDF) (영어). ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}
La Rosa Obando, Laura Betzabé (2010년 7월). 《Homología de Hochschild y homología cíclica》 (스페인어). 석사 학위 논문 (지도 교수 Christian Holger Valqui Haase). 리마: Universidad Nacional de Ingeniería. 2018년 5월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 7월 24일에 확인함.

[Loday-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 ^카 ^타 Loday, Jean-Louis (1998). 《Cyclic homology》 2판 (영어). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 301. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-11389-9. ISBN 978-3-642-08316-7. ISSN 0072-7830. MR 1217970. Zbl 0885.18007.

[Weibel-2] Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》 (영어). Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001.

[3] Hochschild, Gerhard (1945). “On the cohomology groups of an associative algebra”. 《Annals of Mathematics》 46: 58–67. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969145. MR 0011076.

[4] Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956). 《Homological algebra》 (영어). Princeton University Press. OCLC 529171.

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