에일렌베르크-질버 사상

호몰로지 대수학에서 에일렌베르크-질버 사상(Eilenberg-Zilber寫像, 영어: Eilenberg–Zilber map)과 알렉산더-휘트니 사상(Alexander-Whitney寫像, 영어: Alexander–Whitney map)은 아벨 범주 위의 단체 대상의 텐서곱과 사슬 복합체의 텐서곱을 비교하는, 서로 반대 방향의 두 사슬 복합체 사상이다. 이들의 합성은 사슬 복합체의 호모토피를 이루어, 호몰로지 군의 동형을 유도한다. 즉, 단체 대상의 텐서곱과 사슬 복합체의 텐서곱은 같은 호몰로지 군을 정의한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 아벨 범주 $𝒜$
• $𝒜$ 위의 두 단체 대상 $A_{\bullet },B_{\bullet }:{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}}\to 𝒜$

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

• ${\mathrm{Ch}}_{\ge 0}(𝒜)$는 $𝒜$ 위의, 자연수 등급의 사슬 복합체의 범주이다.
• 단체 대상 $A_{\bullet }\in \mathrm{s}(𝒜)$에 대하여, 무어 사슬 복합체 ${\mathrm{C}}_{\bullet }(A)\in {\mathrm{Ch}}_{\ge 0}(𝒜)$ 및 정규화 사슬 복합체 ${\mathrm{N}}_{\bullet }(A)\in {\mathrm{Ch}}_{\ge 0}(𝒜)$를 정의할 수 있다. 후자는 전자의 몫 사슬 복합체이다.

에일렌베르크-질버 사상

아벨 범주 $𝒜$ 위의 두 단체 대상 $A_{\bullet }$, $B_{\bullet }$에 대한 에일렌베르크-질버 사상은 다음과 같은 사슬 복합체 사상이다.

$\mathrm{C}(A_{\bullet })\otimes \mathrm{C}(B_{\bullet })\to \mathrm{C}(A\otimes B)$

$a\otimes b\mapsto \sum _{(\mu ,\nu )\in \mathrm{Shuffle}(m,n)}(-{)}^{(\mu ,\nu )}{s}_{m,\nu }(a)\otimes s_{n,\mu }(b)a\in A_m,b\in B_n$

여기서

• $\mathrm{Shuffle}(m,n)$은 모든 $(m,n)$-셔플 순열 $\{0,1,\dots ,m+n-1\}\to \{0,1,\dots ,m+n-1\}$들의 집합이다. 셔플 순열 $(\mu ,\nu )$의 성분은 $({\mu }_{m-1},\dots ,{\mu }_1,{\mu }_0)$ 및 $({\nu }_{n-1},\dots ,{\nu }_1,{\nu }_0)$이다.
• $s_{n,\mu }=s_{n+m-1{\mu }_{m-1}}\circ \cdots \circ s_{n+1,{\mu }_1}\circ s_{n,{\mu }_0}:B_n\to B_{m+n}$이며 $s_{m,\nu }:A_m\to A_{m+n}$ 역시 마찬가지로 정의된다.
• $(-{)}^{(\mu ,\nu })$는 순열의 부호 $\mathrm{Sym}(n)\twoheadrightarrow \{\pm 1\}$를 셔플 순열 $\mathrm{Shuffle}(m,n)\le \mathrm{Sym}(m+n)$에 적용한 것이다.

이 사상은 무어 사슬 복합체에 대하여 정의되지만, 그 몫인 정규화 사슬 복합체 위에서도 잘 정의된다. 즉, 다음과 같은 에일렌베르크-질버 사상이 존재한다.

${\mathrm{N}}_{\bullet }(A)\otimes {\mathrm{N}}_{\bullet }(B)\to {\mathrm{N}}_{\bullet }(A\otimes B)$

알렉산더-휘트니 사상

아벨 범주 $𝒜$ 위의 두 단체 대상 $A_{\bullet }$, $B_{\bullet }$에 대한 알렉산더-휘트니 사상은 다음과 같은 사슬 복합체 사상이다.

$\mathrm{C}(A_{\bullet })\otimes \mathrm{C}(B_{\bullet })\to \mathrm{C}(A\otimes B)$

$a\otimes b\mapsto \underset{p+q=n}{⨁}({\partial }_{\leftarrow }a)\otimes ({\partial }_{\to }b)n\in \mathbb{N},a\in A_n,b\in B_n$

여기서

• ${\partial }_{\leftarrow }:A_{p+q}\to A_p$는 앞면 사상(영어: 앞面寫像, 영어: front-face map)이라고 하며, 단체 범주의 다음과 같은 사상 $\in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(p,p+q)$에서 유도된 것이다.

  $\{0,1,\dots ,p\}\hookrightarrow \{0,1,\dots ,p+q\}$

  $i\mapsto i$

• ${\partial }_{\leftarrow }:B_{p+q}\to B_q$는 뒷면 사상(영어: 뒷面寫像, 영어: back-face map)이라고 하며, 단체 범주의 다음과 같은 사상 $\in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(q,p+q)$에서 유도된 것이다.

  $\{0,1,\dots ,q\}\hookrightarrow \{0,1,\dots ,p+q\}$

  $i\mapsto i+p$

성질

호모토피

에일렌베르크-질버 사상은 알렉산더-휘트니 사상의 오른쪽 역사상이지만, 일반적으로 왼쪽 역사상이 아니다. 즉, 다음과 같은 합성은 항등 사상이다.

$\mathrm{N}(A)\otimes \mathrm{N}(B)\to \mathrm{N}(A\otimes B)\to \mathrm{N}(A)\otimes \mathrm{N}(B)$

그 반대 합성은 항등 사상이 아닐 수 있지만, 항상 사슬 호모토피이다. 즉, 모형 범주 ${\mathrm{Ch}}_{\ge 0}(𝒜)$의 약한 동치이며, 특히 같은 호몰로지를 정의한다.

$\mathrm{N}(A\otimes B)\to \mathrm{N}(A)\otimes \mathrm{N}(B)\to \mathrm{N}(A)\otimes \mathrm{N}(B)$

이 사실을 에일렌베르크-질버 정리(영어: Eilenberg–Zilber theorem)라고 한다.

대칭성

에일렌베르크-질버 사상은 (텐서곱의 순서를 뒤바꾸었을 때) 대칭 사상이지만, 알렉산더-휘트니 사상은 그렇지 않다.

모노이드 돌트-칸 대응

가환환 $K$가 주어졌을 때, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.

• $K$-결합 대수들의 범주 $\mathrm{Alg}/K$ (즉, 가환환의 범주의 조각 범주)의 단체 대상의 범주 $\mathrm{s}({\mathrm{Alg}}_K)$. 이는 $(\mathrm{s}({\mathrm{Mod}}_K),{\otimes }_K)$ 속의 모노이드 대상들의 범주이다.
• $K$-미분 등급 대수의 범주 ${\mathrm{dgAlg}}_K$. 이는 $K$-사슬 복합체의 모노이드 범주 $({\mathrm{Ch}}_K^{+},{\otimes }_K)$ 속의 모노이드 대상이다.

그렇다면, 돌트-칸 대응으로부터, 이 두 범주 사이에 서로 다른 두 쌍의 수반 함자들이 존재한다. 이들은 각각 퀼런 동치를 정의하며, 이를 모노이드 돌트-칸 대응(영어: monoidal Dold–Kan correspondence)이라고 한다. (그러나 일반 돌트-칸 대응과 달리, 이는 범주의 동치가 아니다.)

구체적으로, 돌트-칸 대응의 함자

$\Gamma :{\mathrm{Ch}}_K^{+}\leftrightarrows \mathrm{s}({\mathrm{Mod}}_K):\mathrm{N}$

에서, 둘 중 하나를 취하면, 다음과 같은 두 수반 함자를 얻는다.

$\Gamma :{\mathrm{dgAlg}}_K\leftrightarrows \mathrm{s}({\mathrm{Alg}}_K):{\mathrm{N}}^{\prime }$

${\mathrm{N}}^{\prime }⊣\mathrm{\Gamma }$

${\Gamma }^{\prime }:{\mathrm{dgAlg}}_K\leftrightarrows \mathrm{s}({\mathrm{Alg}}_K):\mathrm{N}$

${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }⊣\mathrm{N}$

여기서 등장하는 자연 변환의 성분은 각각 알렉산더-휘트니 사상

$\mathrm{N}(A\otimes B)\to \mathrm{N}(A)\otimes \mathrm{N}(B)$

과 에일렌베르크-질버 사상

$\mathrm{N}(A)\otimes \mathrm{N}(B)\to \mathrm{N}(A\otimes B)$

이다.

가환 모노이드 돌트-칸 대응

다음이 주어졌다고 하자.

• 표수 0의 체 $K$

그렇다면, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.

• $K$ 위의 가환 결합 대수들의 범주 $K\mathrm{\setminus }\mathrm{C}\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ (즉, 가환환의 범주의 쌍대 조각 범주)
• $K$-가환 미분 등급 대수의 모형 범주 ${\mathrm{cdgAlg}}_K$

그렇다면, 다음 두 모형 범주 사이에 퀼런 동치가 존재하며, 이를 가환 모노이드 돌트-칸 대응(영어: commutative-monoidal Dold–Kan correspondence)이라고 한다.

$\mathrm{N}:\mathrm{s}(K\mathrm{\setminus }\mathrm{C}\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g})\leftrightarrows {\mathrm{cdgAlg}}_K:{\Gamma }^{\prime }$

이는 에일렌베르크-질버 사상에 의하여 정의된다 (알렉산더-휘트니 사상은 비대칭이어서 사용될 수 없다).

(여기서, $K$를 표수 0의 체로 가정하는 것은, 아닐 경우 ${\mathrm{CDGA}}_K$에 모형 범주 구조가 자연스럽게 주어지지 못하기 때문이다.)

역사

에일렌베르크-질버 사상은 사무엘 에일렌베르크와 조지프 에이브러햄 질버(영어: Joseph Abraham Zilber, 1923~2009)의 이름을 땄다. 알렉산더-휘트니 사상은 제임스 워델 알렉산더와 해슬러 휘트니의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Eilenberg-Zilber map” (영어). 《nLab》. 
• “Alexander-Whitney map” (영어). 《nLab》. 
• “Eilenberg-Zilber theorem” (영어). 《nLab》. 
• “Simplicial ring” (영어). 《nLab》. 
• “Simplicial Lie algebra” (영어). 《nLab》. 
• “Cosimplicial algebra” (영어). 《nLab》. 
  • “Model structure on cosimplicial rings” (영어). 《nLab》. 
• Boardman, J. Michael (2009년 4월 10일). “The Alexander–Whitney chain map” (PDF) (영어). 
• Mathew, Akhil. “Simplicial commutative rings Ⅰ” (PDF) (영어). 2017년 9월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 31일에 확인함. 
• “Extend Alexander-Whitney and Eilenberg-Zilber map to n-fold tensor products” (영어). Math Overflow.