막대 복합체

호몰로지 대수학에서 막대 복합체(막대複合體, 영어: bar complex 바 콤플렉스^[*])는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 완전열이다.^:§4 Tor 함자와 Ext 함자 등을 계산할 때 쓰인다.

정의

결합 대수에 대한 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• (항등원을 갖는) $K$-결합 대수 $A$
• $A$-오른쪽 가군 $M_A$
• $A$-왼쪽 가군 ${}_A{M}^{\prime }$

그렇다면, 막대 복합체 ${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^K(M,A,M^{\prime })$는 다음과 같은, $K$-가군의 범주 속의 단체 대상이다.

${\mathrm{Bar}}_n(M,A,M^{\prime })=M{\otimes }_K{A}^{{\otimes }_{K}n}{\otimes }_K{M}^{\prime }$

${\partial }_{n,i}{\mathrm{Bar}}_n(M,A,M^{\prime })\to {\mathrm{Bar}}_{n-1}(M,A,M^{\prime })(0\le i\le n)$

${\partial }_{n,i}:m{\otimes }_K{a}_1{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_n{\otimes }_K{m}^{\prime }\mapsto \{\begin{array}{cc}m{a}_1{\otimes }_K{a}_2{\otimes }_K\otimes \cdots {\otimes }_K{a}_n{\otimes }_K\otimes m^{\prime }& i=0\\ m{\otimes }_K{a}_1{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_{i-1}{\otimes }_K{a}_i{a}_{i+1}{\otimes }_K{a}_{i+1}{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_n{\otimes }_K{m}^{\prime }& 0<i<n\\ m{\otimes }_K{a}_1{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_{n-1}{\otimes }_K{a}_n{m}^{\prime }& i=n\end{array}$

$s_{n,i}:{\mathrm{Bar}}_n(M,A,M^{\prime })\to {\mathrm{Bar}}_{n+1}(M,A,M^{\prime })(0\le i\le n)$

$s_{n,i}:m{\otimes }_K{a}_1{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_n{\otimes }_K{m}^{\prime }\mapsto m{\otimes }_K{a}_1{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_i{\otimes }_{K}1{\otimes }_K{a}_{i+1}{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_n{\otimes }_K{m}^{\prime }$

특히,

${\partial }_n=\sum _{i=0}^n(-{)}^i{\partial }_{n,i}$

로 놓으면, 이는 사슬 복합체를 이룬다.

일반적 정의

보다 일반적으로, 모노이드 범주 $(𝒞,\otimes )$ 속의 모노이드 대상 $A$ 및 그 왼쪽 가군 ${}_{A}M$과 오른쪽 가군 $M{\text{'}}_A$이 주어졌을 때, 위와 같은 구성을 마찬가지로 전개할 수 있다. 이 경우, ${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^{𝒞}(M,A,M^{\prime })$은 $𝒞$ 속의 단체 대상을 이룬다.

예를 들어, 모노이드 $A$와 그 왼쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 ${}_{A}M$ 및 오른쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 $M{\text{'}}_A$이 주어졌을 때, ${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^{\mathrm{Set}}(M,A,M^{\prime })$은 단체 집합을 이룬다.

성질

완전성

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 및 그 위의 오른쪽 가군 $M_A$과 왼쪽 가군 ${}_A{M}^{\prime }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 막대 복합체 ${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^K(M,A,M^{\prime })$를 생각할 수 있다. 또한, 막대 복합체의 마지막 항에

${\mathrm{Bar}}_0^K(M,A,M^{\prime })=M{\otimes }_K{M}^{\prime }\to {\mathrm{Bar}}_{-1}^K(M,A,M^{\prime })=M{\otimes }_A{M}^{\prime }$

을 추가할 수 있다. 그렇다면,

$\cdots \to {\mathrm{Bar}}_1^K(M,A,M^{\prime })\to {\mathrm{Bar}}_0^K(M,A,M^{\prime })\to {\mathrm{Bar}}_{-1}^K(M,A,M^{\prime })\to 0$

은 완전열이다. 즉, 그 호몰로지는 자명군이다. 이에 따라, 막대 복합체 $\mathrm{Bar}(M,A,M^{\prime })$은 $M{\otimes }_A{M}^{\prime }$의 분해를 정의한다.

특히, $M=M^{\prime }=A$인 경우, ${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^K(A,A,A)$는 $A$의 ($(A,A)$-쌍가군으로서의) 분해(영어: resolution)를 이룬다.^{:12, Proposition–definition 1.1.12}

예

호흐실트 호몰로지

섬네일을 만드는 중 오류 발생:  이 부분의 본문은 호흐실트 호몰로지입니다.

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$가 주어졌다고 하자. ${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^K(A,A,A)$의 각 성분은 모두 $(A,A)$-쌍가군이므로, 포락 대수 $A^{\mathrm{e}}=A{\otimes }_K{A}^{\mathrm{op}}$를 정의하였을 때 ${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^K(A,A,A)$는 $A^{\mathrm{e}}$-사슬 복합체를 이룬다. 임의의 $(A,A)$-쌍가군 $M$에 대하여,

$C_{\bullet }(A;M)=M{\otimes }_{A^{\mathrm{e}}}{\mathrm{Bar}}_{\bullet }^K(A,A,A)$

는 $A$의 $M$계수 호흐실트 사슬 복합체이며, 마찬가지로

$C^{\bullet }(A;M)={\mathrm{hom}}_{A^{\mathrm{e}}}({\mathrm{Bar}}_{\bullet }^K(A,A,A),M)$

은 $A$의 $M$계수 호흐실트 공사슬 복합체이다.

군 코호몰로지

섬네일을 만드는 중 오류 발생:  이 부분의 본문은 군 코호몰로지입니다.

군 코호몰로지와 군 호몰로지를 계산하는 표준적인 공사슬 복합체와 사슬 복합체는 막대 복합체의 특수한 경우이다.

분류 공간

섬네일을 만드는 중 오류 발생:  이 부분의 본문은 분류 공간입니다.

위상 공간의 (범주론적 곱에 대한) 모노이드 범주에서, 위상군 $G$가 주어졌다고 하자. 이는 물론 한원소 공간 $\bullet$ 위에 자명하게 작용한다. 이에 따라, 막대 복합체 ${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^{\mathrm{Top}}(\bullet ,G,\bullet )$를 정의할 수 있다. 또한, $G$는 스스로 위에 왼쪽 및 오른쪽에서 작용한다. 따라서, 막대 복합체 ${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^{\mathrm{Top}}(\bullet ,G,G)$를 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적인 몫 사상

${\mathrm{Bar}}_{\bullet }^{\mathrm{Top}}(\bullet ,G,G)\twoheadrightarrow {\mathrm{Bar}}_{\bullet }^{\mathrm{Top}}(\bullet ,G,\bullet )$

이 존재한다. 이는 $G$-주다발을 이루며, 또한 위상군 $G$의 분류 공간 $\mathrm{E}(G)\twoheadrightarrow \mathrm{B}(G)$을 이룬다.

역사

사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1953년에 도입하였다. “막대 복합체”라는 이름은 에일렌베르크와 매클레인이 (오늘날 통상적으로 “$\otimes$”로 표기되는) 텐서곱을 막대기 모양의 기호 “$|$”로 표기하였기 때문이다.^:§4.3

같이 보기

• 코쥘 복합체

외부 링크

• “Bar and cobar construction” (영어). 《nLab》. 
• “Bar construction” (영어). 《nLab》. 
• “Simplicial bar construction” (영어). 《nLab》. 
• “Two-sided bar construction” (영어). 《nLab》. 
• “Bar resolution” (영어). 《Groupprops》. 
• Malkiewich, Cary. “The bar construction” (PDF) (영어). 
• Hess, Kathryn (2007년 5월). “The cobar construction: a modern perspective” (PDF) (영어). 2015년 3월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 25일에 확인함. 
• Trimble, Todd (2007년 5월 31일). “On the bar construction” (영어). 《The n-Category Café》.