단체 리 대수

호모토피 이론에서 단체 리 대수(單體Lie代數, 영어: simplicial Lie algebra)는 리 대수의 범주 속의 단체 대상이다. 즉, 단체 집합 구조로 주어지며 리 괄호와 호환되는 위상을 갖춘 리 대수이다.^:§Ⅰ.4

정의

가환환 $K$가 주어졌다고 하자. $K$-단체 리 대수는 $K$-리 대수의 범주 ${\mathrm{LieAlg}}_K$ 속의 단체 대상이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, $K$-리 대수 ${𝔤}_n$
• ${𝔤}_{\bullet }$ 위의 단체 집합 구조 $\underset{\bullet }{\overset{n}{\partial }}:{𝔤}_n\to {𝔤}_{n-1}$, $s_{\bullet }^n:{𝔤}_n\to {𝔤}_{n+1}$. 또한, 함수들은 모두 $K$-리 대수 준동형이어야 한다.

성질

단체 리 대수의 범주에서, $K$-리 대수 → $K$-가군 망각 함자

${\mathrm{LieAlg}}_K\to {\mathrm{Mod}}_K$

를 통해, 망각 함자

$[{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}},{\mathrm{LieAlg}}_K]\to [{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}},{\mathrm{Mod}}_K]\simeq {\mathrm{Ch}}_{\bullet \ge 0}({\mathrm{Mod}}_K)$

를 정의할 수 있다. 여기서 ${\mathrm{Ch}}_{\bullet \ge 0}({\mathrm{Mod}}_K)$는 자연수 등급의 $K$-가군 사슬 복합체의 아벨 범주이며, 마지막 범주의 동치는 돌트-칸 대응이다. 이 망각 함자를

$\mathrm{N}:[{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}},{\mathrm{LieAlg}}_K]\to {\mathrm{Ch}}_{\bullet \ge 0}({\mathrm{Mod}}_K)$

라고 하자.

$K$가 표수 0의 체라고 하자. 그렇다면, 단체 리 대수 ${𝔤}_{\bullet }$에 대하여, 사슬 복합체 $(\mathrm{N}𝔤{)}_{\bullet }$ 위에 다음과 같은 리 괄호를 줄 수 있다.

$\mathrm{N}𝔤{\otimes }_K\mathrm{N}𝔤\to \mathrm{N}(𝔤{\otimes }_K𝔤)\to \mathrm{N}𝔤$

여기서 첫째 사상은 에일렌베르크-질버 사상이며, 둘째 사상은 성분별로 리 괄호를 취하는 것이다.

그렇다면, $(\mathrm{N}𝔤{)}_{\bullet }$는 $K$-미분 등급 리 대수를 이룬다. 이는 함자

$\mathrm{N}:[{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}},{\mathrm{LieAlg}}_K]\to {\mathrm{dgLieAlg}}_K$

를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 수반 함자

${\mathrm{N}}^{*}:{\mathrm{dgLieAlg}}_K\to [{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}},{\mathrm{LieAlg}}_K]:\mathrm{N}$

를 가진다. 구체적으로,

${\mathrm{N}}^{*}𝔤=\frac{\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{e}{\mathrm{e}}_{\mathrm{LieAlg}}({\mathrm{N}}^{-1}𝔤)}{\Im }$

이다. 여기서

• $\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{e}{\mathrm{e}}_{\mathrm{LieAlg}}:{\mathrm{Mod}}_K\to {\mathrm{LieAlg}}_K$는 자유 리 대수 함자이다.
• $(\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{e}{\mathrm{e}}_{\mathrm{LieAlg}}\circ ):[{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}},{\mathrm{Mod}}_K]\to [{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}},{\mathrm{LieAlg}}_K]$는 단체 가군에서 단체 리 대수로 가는, 성분별 자유 리 대수 함자이다.
• $\Im$는 $\{[[{\mathrm{N}}^{-1}x,{\mathrm{N}}^{-1}y]]-{\mathrm{N}}^{-1}[x,y]:x\in {𝔤}_m,y\in {𝔤}_n\}$로 생성되는 단체 리 대수 아이디얼이다.
  • 여기서 $[[-,-]]:{\mathrm{g}}_m\otimes {𝔤}_n\to {𝔤}_{m+n}$은 에일렌베르크-질버 사상 ${𝔤}_m\otimes {𝔤}_n\to (𝔤\otimes 𝔤{)}_{m+n}$을 취한 뒤 각 성분별 리 괄호 $(𝔤\otimes 𝔤{)}_{m+n}\to {𝔤}_{m+n}$를 취한 것이다.

모형 범주 구조

표수 0의 체 $K$에 대하여, 단체 리 대수의 범주 $[{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}},{\mathrm{LieAlg}}_K]$ 위에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

• 올뭉치는 칸 올뭉치(즉, 단체 집합의 모형 범주의 올뭉치)이다.
• 약한 동치는 단체 집합의 약한 동치(즉, 기하학적 실현에 대한 약한 호모토피 동치)이다.

또한, 이에 따라 함자 $\mathrm{N}:[{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}},{\mathrm{LieAlg}}_K]\to {\mathrm{dgLieAlg}}_K$는 퀼런 동치를 이룬다.

같이 보기

• 미분 등급 리 대수

외부 링크

• “Simplicial Lie algebra” (영어). 《nLab》. 
• “Model structure on simplicial Lie algebras” (영어). 《nLab》.